학성동 고3수학과외

표현이 바뀌어도 여사건의 근거를 놓치지 않는 풀이

학성동 생활권에서 수능 수학을 준비하던 학생은 여사건을 구할 때 식, 그래프, 표가 같은 정보를 담고 있다는 점은 알고 있었다. 그러나 표현의 순서가 달라지면 앞 문제에서 적었던 풀이 순서를 그대로 옮기는 습관이 남아 있었다. 학성동과외 수업에서는 정답보다 먼저 ‘무엇이 전체이고, 어떤 조건을 만족하지 않는 경우가 여사건인가’를 말로 확인하게 했다.

가려진 다음 줄에서 드러난 첫 혼동

다음 조건을 살펴보자.

1부터 10까지의 정수 중 하나를 택한다. 사건 A를 “선택한 수가 x²-5x+6≤0을 만족한다”라고 할 때, 사건 A의 여사건을 구하여라.

학생은 먼저 식을 인수분해하여 (x-2)(x-3)≤0을 얻고, 2≤x≤3이라고 적었다. 여기까지는 맞았다. 문제는 여사건을 쓰는 순간이었다. 앞 문제의 순서를 복사해 “x<2 또는 x>3”이라고 적은 뒤, 전체 표본이 1부터 10까지라는 조건을 다시 확인하지 않았다. 그 결과 여사건을 실수 전체의 범위처럼 표현할 위험이 생겼다.

풀이의 한 줄을 가리고 다시 복원하게 하자 학생은 식만 보고 경계값을 처리하려 했다. 하지만 이 문제의 핵심조건은 ‘1부터 10까지의 정수’이고, x<2 또는 x>3은 그 조건 안에서만 해석되어야 한다. 따라서 A={2,3}, A^c={1,4,5,6,7,8,9,10}이다. 식의 부등식은 풀이 근거이고, 표본공간은 후보의 허용 범위를 정하는 핵심조건이라는 구분이 필요했다.

식과 수직선 사이의 공통 관계

학생은 식과 수직선을 나란히 놓았다. 먼저 전체 후보를 1, 2, 3, 4, …, 10으로 적고, 부등식이 성립하는 2와 3만 표시했다. 그 다음 표시되지 않은 수를 여사건 후보로 옮겼다. 이때 “부등호를 반대로 바꾼다”에서 멈추지 않고, 원래 표본공간에서 남은 값을 고른다는 근거를 옆에 적었다.

경계값을 새로 넣은 변형도 제시했다.

1부터 10까지의 정수 x에 대하여 사건 B를 “x²-5x+6<0”이라 하자.

이번에는 2와 3에서 등호가 성립하므로 B={ }가 되고, B의 여사건은 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 전체가 된다. 학생은 앞 문제의 결과를 복사하지 않고, 열린 부등식에서는 경계값을 포함하지 않는다는 사실을 다시 확인했다. 이후 “식의 해집합”과 “여사건의 후보 범위”를 표의 서로 다른 칸에 기록했다.

순서가 뒤섞인 문항에서의 재구성

다음 문항은 식 대신 표로 주어졌다. 전체 표본공간은 {1,2,3,4,5,6,7,8}이고, 사건 C에 해당하는 값은 표에서 2, 5, 6으로 표시되어 있었다. 질문은 C의 여사건이 아니라 “C가 일어나지 않을 확률”을 묻고 있었다. 학생은 먼저 C^c={1,3,4,7,8}을 만들고, 전체가 8개이므로 확률을 5/8로 계산했다. 표현이 ‘여사건’에서 ‘일어나지 않음’으로 바뀌었지만, 공통으로 남는 관계인 ‘전체에서 사건에 해당하는 것을 제외한다’를 기준으로 판단한 것이다.

이어 매개변수 조건이 붙은 문항에서는 후보를 바로 세지 않았다. 끝점과 내부 경계값을 같은 표에 놓고, 조건을 만족하는지 각각 대입했다. 특히 조건 하나를 빼면 경계값 하나가 잘못 포함되는 반례를 직접 만들었다. 이를 통해 풀이 근거와 최종 검산을 분리했다. 전체를 다시 계산하는 대신, 판단을 바꿀 수 있는 경계 한 줄과 치환 결과만 확인했다.

힌트 없이 남은 판단

다음 날에는 식·그래프·표가 섞인 문제를 교정 표시 없이 풀게 했다. 학생은 그래프에서 사건에 해당하는 구간을 먼저 읽고, 전체 정의된 정수 후보를 별도로 적었다. 이어 경계의 바로 왼쪽과 오른쪽을 각각 대입해 포함 여부를 확인한 뒤 여사건을 완성했다. 마지막 답을 낸 뒤에는 “이 후보들은 원래 조건 안에 있는가?”와 “원식에 넣었을 때 경계 처리가 맞는가?”를 스스로 점검했다.

강원고3수학과외 자료를 활용해 다른 풀이와 한 번 대조했을 때도 계산 전체를 무작정 반복하지 않고, 자신의 첫 판단과 근거가 달라진 지점을 찾아냈다. 표현이 바뀌어도 전체 표본공간, 사건의 조건, 제외할 경계값을 차례로 되살리는 행동이 유지된 것이 최종 검증의 기준이었다.