학성동 중2수학과외
두 식을 끝까지 함께 확인하는 연립방정식 풀이
이 생활권에서 진행한 학성동과외 수업에서는 거리와 시간 문장제를 연립방정식으로 바꾸는 과정을 한 학생의 풀이 흔적으로 살펴보았습니다. 특히 같은 관계가 문장, 표, 식으로 바뀌어도 두 조건을 모두 유지하는지 확인하는 데 초점을 맞췄습니다.
한 식만 맞는 답을 고른 순간
학생은 다음 문제를 읽고 공책 위쪽에 두 사람의 이동 시간을 각각 x분, y분이라고 적었습니다.
두 지점 사이를 오갈 때, 한 사람은 분속 80m로 걸어 12분이 걸리고 다른 사람은 분속 120m로 걸어 8분이 걸렸다. 두 사람이 같은 지점에서 출발해 서로 반대 방향으로 이동한 거리는 1,920m이다. 두 사람의 이동 시간을 각각 구하여라.
학생은 먼저 80x와 120y를 거리로 표시한 뒤, “합친 거리”라는 문장을 보고 80x+120y=1920을 세웠습니다. 이어 두 사람이 이동한 시간의 차이가 4분이라는 조건을 읽고 x-y=4를 적었습니다. 가감법으로 첫 식에 4를 대입해 x=12를 구한 뒤, 두 번째 식에 넣어 y=8을 계산했습니다.
그런데 문제의 표현을 “두 사람이 같은 거리를 기준으로 각자 이동했다”로 바꾸자 학생은 새로 만든 식 80x=120y만 확인하고 x=12, y=8을 그대로 답으로 확정하려 했습니다. 이 값은 그 식에는 맞지만, 두 조건을 함께 판단하지 않고 한 식만 만족하는 값을 최종 해로 선택한 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다.
계산보다 먼저 두 조건을 붙잡기
교정할 때 이미 적절했던 속도, 시간, 거리의 표시와 대입 과정은 그대로 두었습니다. 바꾼 것은 답을 정하기 전 확인 순서 하나였습니다. 학생은 식 옆에 작은 동그라미를 두 개 그리고 각각 ‘첫 번째 거리 조건’, ‘두 번째 시간 조건’이라고 썼습니다. 그런 다음 “연립방정식의 해는 두 식을 동시에 만족해야 한다”고 짧게 말했습니다.
표현이 달라져도 먼저 공통 관계를 복원하도록 했습니다. 표를 만들 때는 다음처럼 열을 나누었습니다.
- 첫 번째 사람: 속도 80m/분, 시간 x분, 거리 80x
- 두 번째 사람: 속도 120m/분, 시간 y분, 거리 120y
- 거리 조건: 80x+120y=1920
- 시간 조건: x-y=4
학생은 두 번째 식에 120을 곱해 120x-120y=480으로 바꾸고, 첫 번째 식과 더했습니다. 이때 무작정 더하지 않고 “y의 계수가 120과 -120이라 더하면 없어지므로 가감한다”고 표시했습니다. 결과는 200x=2400, x=12였고, x-y=4에 대입해 y=8을 얻었습니다. 이어 두 원래 식에 모두 넣어 80×12+120×8=1920, 12-8=4라고 검산했습니다.
표와 질문 방향이 바뀐 문제
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표에서 출발하는 문제로 바꾸었습니다. 두 차량의 이동 기록이 다음과 같이 주어졌습니다.
- 차량 A: 1분에 70m, 이동 시간 x분
- 차량 B: 1분에 100m, 이동 시간 y분
- 두 차량의 이동 거리 합은 1,840m
- A의 이동 시간은 B보다 4분 더 김
이번에는 “각 차량의 시간을 구하라”가 아니라 “두 차량의 이동 거리 차이를 구하라”라고 질문했습니다. 학생은 표의 속도와 시간을 곱해 식을 만들고, 70x+100y=1840, x-y=4를 적었습니다. 앞선 풀이를 그대로 외우지 않고 첫 식에서 100을 곱한 두 번째 식을 빼면 x의 계수를 없앨 수 있다고 설명했습니다. 계산 결과 x=16, y=12를 얻은 뒤 거리 차이를 70×16-100×12=80m로 구했습니다.
힌트 없이 두 원래 식으로 검증하기
수업 후반에는 문장이 아니라 “A는 분속 90m로 x분, B는 분속 60m로 y분 이동했고, 두 거리의 합은 1,620m이다. A의 시간이 B보다 3분 짧다”라는 표현을 제시했습니다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 90x+60y=1620, x-y=-3을 세웠습니다. 부호가 바뀐 이유를 “A 시간이 더 짧으므로 x-y가 음수”라고 설명했습니다.
학생은 두 번째 식에 60을 곱한 뒤 첫 식에서 빼서 y의 계수를 없애고 x=9, y=12를 얻었습니다. 마지막에는 답만 적지 않고 두 원래 식을 각각 확인했습니다. 90×9+60×12=1530으로 합이 맞지 않음을 발견하자 계산 중 90×9를 810이 아니라 900으로 잘못 적은 부분에 밑줄을 그었습니다. 다시 계산해 810+720=1530임을 확인하고, 주어진 합 1,620과 맞지 않으므로 이 문제의 조건 자체에서 값이 성립하지 않는다고 설명했습니다. 이어 “해가 나왔다고 바로 확정하지 않고 두 식 모두에 대입해야 한다”는 판단을 스스로 재현했습니다.
이 과정을 담은 학성동중2수학과외에서는 연립방정식의 계산법만 반복하지 않고, 거리와 시간의 관계를 표와 문장과 식 사이에서 다시 연결했습니다. 학생은 새로운 표현을 만났을 때도 속도×시간으로 거리를 정리하고, 두 식을 함께 만족하는지 확인하는 순서를 자신의 말과 검산으로 유지했습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중2 점검 기준
이미 배운 내용을 변형된 문장이나 문제에 적용하는 과정과 서술형에서 빠진 근거를 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.