원주우산동 중등수학과외

원주우산동중등수학과외, 중심각 86°에서 원주각 43°가 되는 조건 확인하기

원의 성질에서는 계산 결과를 맞히는 것과 그 결과가 성립하는 조건을 설명하는 일이 함께 필요합니다. 원 O에서 작은 호 AB에 대한 중심각 ∠AOB=86°이고, P가 그 작은 호 밖의 원 위에 있을 때 ∠APB를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 43°입니다. 다만 86÷2만 적고 끝내면, 다른 그림에서도 항상 절반을 쓰는 것으로 받아들일 수 있습니다. 이번 확인의 핵심은 ∠AOB와 ∠APB가 모두 작은 호 AB를 보고 있다는 점, 그리고 원주각의 꼭짓점 P가 그 작은 호 밖에 있다는 점입니다.

같은 작은 호 AB를 표시해 중심각과 원주각을 연결합니다

먼저 원둘레의 A와 B 사이에서 더 짧은 부분을 작은 호 AB로 색칠합니다. 중심각 ∠AOB는 중심 O를 꼭짓점으로 하고 양변 OA, OB가 작은 호 AB의 양 끝 A, B를 잇습니다. 원주각 ∠APB는 꼭짓점 P가 원 위에 있으며, 양변 PA, PB도 같은 A와 B를 잇습니다. 따라서 두 각이 바라보는 호는 모두 작은 호 AB입니다. 이때 P가 작은 호 위가 아니라 그 밖에 있으므로 ∠APB는 작은 호 AB를 보는 원주각으로 읽습니다. 같은 호를 보는 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 절반이므로 ∠APB=86°÷2=43°입니다. 각의 단위는 도(°)이며, 43°는 선분 PA와 PB가 이루는 각의 크기입니다.

맞힌 43°를 다시 쓰기보다 적용 조건을 풀이에 남깁니다

정답을 가린 뒤에는 “왜 86을 2로 나누었나요?”라는 질문에 식만 반복하지 않고, 그림의 작은 호 AB와 꼭짓점 위치를 함께 가리켜 보게 합니다. 풀이에는 ‘∠AOB와 ∠APB는 같은 작은 호 AB를 본다’와 ‘P는 작은 호 AB 밖의 원 위 점이다’를 적은 뒤 86°÷2=43°을 연결하면 됩니다. 이렇게 하면 중심각의 절반이라는 규칙이 숫자 계산의 요령이 아니라 호와 각의 관계에서 나온다는 점이 드러납니다. 원주우산동중등수학과외에서도 말로 길게 설명하기 어렵다면, 호를 색칠하고 O와 P를 각각 중심, 원 위 꼭짓점으로 표시한 그림이나 짧은 식으로 근거를 보이는 방식을 사용할 수 있습니다. 중요한 것은 답 43°의 재현이 아니라 어떤 호를 보았는지 확인하는 것입니다.

다른 호를 보면 43°를 바로 옮길 수 없는 이유를 비교합니다

비교 문제에서 “다른 호를 보는 원주각에도 같은 값을 바로 쓸 수 있을까?”라고 물으면, 호의 관계를 확인하기 전에는 값을 확정할 수 없습니다. 기본 문제에서 유지되는 조건은 원주각의 꼭짓점이 원 위에 있고 두 선분이 원의 두 점을 잇는다는 점입니다. 그러나 달라진 조건은 바라보는 호입니다. 새 원주각이 작은 호 AB가 아니라 다른 호 CD를 본다면, 그 호에 대한 중심각이 86°인지 알 수 없으므로 원주각도 43°라고 정할 근거가 없습니다. 다음 확인에서는 학생이 기본 그림에 작은 호 AB를 표시하고 ‘같은 호’라고 연결한 뒤, 비교 그림에서는 호가 달라졌음을 먼저 찾아낼 수 있는지 봅니다. 이어 P가 해당 작은 호 밖에 있는 이유까지 그림이나 문장으로 제시하고, 호의 관계가 주어지지 않은 비교 문제에서는 “확정할 수 없다”라고 판단하는지 확인하면 됩니다.