원주우산동 고2수학과외







연속성 판단에서 계산보다 먼저 확인할 것
“유리함수도 다항함수처럼 모든 실수에서 연속이다.” 이 판단이 이후 계산보다 근본적인 오류였다. 원주우산동과외 수업에서는 식을 계산하기 전에 분모가 0이 되는 지점을 확인하는 습관부터 교정했다.
학생 풀이의 오류 장면
다항함수는 모든 실수에서 연속이지만, 유리함수는 분모가 0인 점에서 정의되지 않는다. 따라서 유리함수의 연속 범위는 분모의 영점에 따라 결정된다.
예를 들어
f(x) = (x+2) / (x2 - 3x + 2)
에서 분모를 인수분해하면
x2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
이다. 그러므로 x=1, 2에서는 함수가 정의되지 않는다.
하나의 식에서 연속 구간을 추적하기
정의역 확인이 출발점
위 함수의 정의역은
R \ {1, 2}
이다. 유리함수는 분모가 0이 되지 않는 모든 점에서 연속이므로 연속 구간은
(-∞, 1), (1, 2), (2, ∞)
로 나누어진다. “모든 실수에서 연속”이라는 표현은 다항함수에는 적용되지만, 이 유리함수에는 적용할 수 없다.
매개변수가 포함된 경우
이번에는
ga(x) = (x+2) / (x2 - (a+1)x + a)
를 살펴보자. 분모는
x2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a)
로 인수분해된다. 따라서 a≠1이면 x=1과 x=a를 제외한 곳에서 연속이고, a=1이면 분모가 (x-1)2이 되어 x=1만 제외한다.
분자와 분모에 같은 인수가 있다고 해서 원래 함수의 정의되지 않는 점이 자동으로 되살아나는 것도 아니다. 약분한 식의 연속성과 원래 함수의 정의역은 구별해야 한다.
보기의 표현을 최종 검증하기
잘못된 보기 찾기
다음 보기 중 옳지 않은 것은 ③이다.
- 다항함수는 모든 실수에서 연속이다.
- 유리함수는 분모가 0이 아닌 점에서 연속이다.
- 모든 유리함수는 모든 실수에서 연속이다.
- 유리함수의 연속 범위를 구할 때 분모의 영점을 확인해야 한다.
③은 유리함수의 정의역 조건을 무시한 일반화다. 원주우산동고3수학과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산 결과보다 먼저 분모의 영점을 표시하면 같은 오류를 예방할 수 있다.
교정된 판단
다항함수는 모든 실수에서 연속이지만, 유리함수는 분모가 0이 되는 점을 제외한 정의역에서 연속이다. 따라서 매개변수가 있는 유리함수는 분모를 인수분해하고, 매개변수에 따른 영점의 변화를 확인한 뒤 연속 구간을 표현해야 한다.
역으로 물었을 때도 설명할 수 있나요?
결론을 구하는 연습에 익숙해졌다면 그 결론이 나오려면 어떤 조건이 필요했는지 되짚어 보세요. 단, 어떤 성질의 역도 항상 참이라고 가정해서는 안 됩니다. 현재 배운 정리에서 어느 방향까지 성립하는지 수업 자료로 확인하며 질문할 부분을 남길 수 있습니다.
반례를 제시해야 하는 문제를 만났다면
어떤 주장이 항상 성립하지 않음을 보일 때는 주어진 조건을 만족하면서 결론은 성립하지 않는 예가 필요합니다. 단순히 다른 숫자를 적는 것으로 끝내지 말고 두 부분을 따로 확인해 보세요. 현재 단원에서 반례의 역할을 배우고 있다면 이 기준으로 자신의 설명을 점검할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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