원주우산동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 여사건의 첫 판단

문제는 한 번의 시행에서 성공할 확률이 \(0.3\)인 실험을 네 번 반복할 때, 성공이 한 번 이상 일어날 확률을 묻고 있었다.

학생이 적은 답은 \(4\times0.3=1.2\)였다. 처음에는 곱셈을 잘못한 것처럼 보였지만, 정답 풀이에서 역으로 올라가 보니 실제 오류는 계산 직전이었다. 학생은 ‘한 번 이상’을 정확히 한 번 성공하는 경우로 바꾸어 \(4\times0.3\)을 세웠다. 따라서 성공이 두 번, 세 번, 네 번 일어나는 경우를 모두 놓쳤다.

“틀린 줄은 \(4\times0.3\)이지만, 그 줄을 쓰게 만든 최초 판단은 ‘한 번 이상’을 ‘정확히 한 번’으로 읽은 것이다.”

비어 있던 중간식을 복원하다

풀이의 첫 줄과 결론 사이에 중간식 한 줄을 가리고 다시 작성하게 했다. 학생은 먼저 사건을 \(A=\) ‘성공이 한 번 이상’이라고 적었다. 그다음 직접 \(A\)를 여러 경우로 나누지 않고, 반대 사건을 \(A^c=\) ‘네 번 모두 실패’로 정리했다. 실패 확률은 \(1-0.3=0.7\)이므로

\(P(A^c)=0.7^4\), \(\quad P(A)=1-P(A^c)=1-0.7^4=0.7599\)

가 된다. 여기서 교정은 두 가지로 제한했다. ‘이상’이라는 표현에 밑줄을 긋고, 첫 식 옆에 그 식이 나타내는 사건을 문장으로 적게 했다. 이 표시가 없으면 학생은 다시 \(P(X=1)\)을 먼저 계산할 가능성이 있었다.

계산 중간의 한 줄을 지운 뒤에는 조건을 하나 사용하지 않았을 때의 반례도 확인했다. \(4\times0.3\)은 정확히 한 번 성공할 확률이 아니며, 실제로 \(0.3^4\)처럼 네 번 모두 성공하는 경우도 문제의 사건에 포함된다. 결론에서 거꾸로 확인하자, 빠진 경우가 생긴 이유가 계산이 아니라 사건 분류에 있었다.

답을 먼저 준 역문제에서 같은 근거를 찾기

다음에는 숫자만 바꾸지 않고 질문의 방향을 바꾸었다. 성공 확률이 \(0.2\)인 시행을 다섯 번 했을 때 “성공이 적어도 한 번”의 확률을 구하라는 문항 대신, 어떤 풀이가 \(1-0.8^5\)라고 적혀 있을 때 이 식이 무엇을 계산한 것인지 설명하게 했다.

학생은 \(0.8^5\)가 ‘다섯 번 모두 실패’인 여사건의 확률이고, 앞의 1에서 이를 빼야 성공이 한 번 이상인 사건으로 돌아온다고 설명했다. 이어 \(0.2^5\)는 성공이 다섯 번인 경우일 뿐이므로 정답의 보충항이 될 수 없다고 구분했다. 원주우산동과외에서 오답을 볼 때도 결과만 고치는 대신, 이처럼 식마다 사건의 문장을 붙이는 방식으로 풀이 근거를 추적할 수 있다.

조건의 순서를 섞어도 남은 판단

며칠 뒤에는 보기 없이 다음 문항을 제시했다. 한 제품이 불량일 확률이 \(0.04\)이고, 독립적으로 고른 세 제품 중 불량품이 하나라도 포함될 확률을 구하는 문제였다. 학생은 숫자를 계산하기 전에 ‘하나라도 포함’에 표시하고, 여사건을 ‘세 제품 모두 정상’으로 바꾸었다.

\(P(\text{하나 이상 불량})=1-P(\text{모두 정상})=1-0.96^3\)

풀이를 끝낸 뒤에는 실제 조건인 독립 시행과 정상 확률 \(0.96\)에 동그라미를 쳤다. 이어 원래 조건에 후보 식을 다시 대입해, \(0.96^3\)이 구하려는 사건이 아니라 그 반대 사건임을 확인했다. 문항의 조건 제시 순서가 바뀌었는데도 ‘표현을 읽고 사건을 먼저 분류한 뒤 여사건을 정한다’는 행동이 그대로 나왔다. 이는 직전 풀이를 외운 것이 아니라, 처음 오류가 발생한 위치를 스스로 찾아 고친 결과였다.