LearnMap

단구지구 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

접선이 보여도 미분 가능한 것은 아니다

한 학생은 그래프에 접선이 그려지면 미분계수가 존재한다고 판단했다. 그러나 미분가능성은 단순히 접선의 존재 여부가 아니라, 한 점에서 좌우미분계수가 같은 유한한 값으로 존재하는지를 묻는다.

그래프의 국소 모양부터 분류하기

뾰족점에서는 그래프가 연속이어도 좌우기울기가 다르다. 대표적으로 \(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 연속이지만 왼쪽 미분계수는 \(-1\), 오른쪽 미분계수는 \(1\)이므로 미분 가능하지 않다.

첨점은 양쪽 기울기가 서로 다른 방향으로 무한히 커지는 형태다. 예를 들어 \(f(x)=x^{2/3}\)은 \(x=0\)에서 연속이지만 좌우 기울기가 각각 \(-\infty\), \(+\infty\)로 향하므로 미분 가능하지 않다.

수직접선은 좌우 기울기가 같은 방향으로 무한히 커지는 경우다. \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)는 \(x=0\)에서 연속이고 접선은 수직이지만, 미분계수가 유한한 실수로 존재하지 않는다.

좌우미분계수로 오답을 바로잡다

유형연속성좌우 기울기미분 가능성
뾰족점연속일 수 있음서로 다름불가능
첨점연속일 수 있음부호가 반대인 무한대불가능
수직접선연속일 수 있음같은 방향의 무한대불가능
불연속점불연속미분계수 판단 이전에 탈락불가능

보기의 표현을 정확히 읽기

“접선이 존재한다”는 말만으로 “미분 가능하다”고 결론 내리면 안 된다. 수직접선은 기하적으로 접선이 존재하지만 기울기가 유한하지 않다. 따라서 미분 가능하려면 해당 점에서 함수가 정의되고, 연속이며, 좌우미분계수가 같은 유한한 값이어야 한다.

단구지구과외에서 이 유형을 점검할 때도 그래프의 전체 모양보다 문제에서 지정한 점 주변의 좌우 방향과 기울기 크기를 먼저 확인하면 오답 연결을 줄일 수 있다.

최종 검증: 세 질문으로 판단하기

  1. 그 점에서 함수값이 정의되어 있는가?
  2. 좌우에서 함수값이 함수값으로 가까워지는가?
  3. 좌우미분계수가 같은 유한한 값인가?

첫째나 둘째가 성립하지 않으면 연속이 아니며, 셋째가 성립하지 않으면 미분 가능하지 않다. 특히 뾰족점은 좌우미분계수의 불일치, 첨점과 수직접선은 무한대로 발산하는 기울기가 핵심이다.

단구지구 고2수학과외 학부모 후기

새 수학 노트로 바꾼 날, 아이가 문제를 바로 풀지 않고 문장을 처음부터 다시 읽고 있더라고요. 숫자가 눈에 먼저 들어올 법한데도 수치보다 조건이 적힌 부분에 펜을 대고 표시하는 모습이 보여서 잠깐 지켜보게 됐어요. 단구지구 수학과외 이야기를 나누던 중이라 노트를 펼쳐 본 건데, 전과는 보는 순서가 달랐습니다. 예전에는 다음에 확인할 곳을 따로 표시하지 않았어요. 그래서 문제를 다시 펼치면 처음부터 전체를 훑어야 했는데, 그날은 조건 문장부터 짚고 넘어가더라고요. 숫자 옆이 아니라 조건이 적힌 문장에 먼저 흔적을 남긴 점이 눈에 들어왔습니다. 다음 주 학교 숙제를 끝낸 뒤에도 같은 식으로 문제를 살폈어요. 수치를 먼저 따라가지 않고 조건 문장부터 확인했고, 읽지 못한 부분은 따로 표시해 두었습니다. 수학 노트 한쪽에 숫자 표시보다 문장에 남은 표시가 먼저 보였어요.

★★★★★학부모 후기

주말 아침 간식을 가져다주러 방에 들렀다가 아이가 문제집을 바로 덮지 않고 있는 걸 보게 됐어요. 풀이를 끝낸 뒤 마지막 계산 결과를 처음과는 다른 방식으로 다시 확인하더라고요. 답을 먼저 찾아보는 모습이 아니라, 본인이 적어 둔 계산을 한 번 더 살펴보는 장면이었어요. 예전에는 왜 그렇게 계산했는지 따로 남겨두지 않아서, 틀려도 어디서 나온 답인지 찾기 어려웠거든요. 그런데 이번에는 처음 계산과 다른 방법으로 결과를 확인한 뒤, 그 과정을 잠깐 들여다보고 있었습니다. 단구지구 수학과외 이야기를 나누며 보게 된 변화 중에서도 이 장면이 특히 눈에 띄었어요. 새 단어 목록을 받았을 때에도 마지막 결과를 같은 식으로 한 번 더 확인했고, 다음에 다시 볼 부분을 하나 정해 두었어요. 계산한 답만 넘기지 않고 확인할 지점을 따로 남겨 둔 모습이 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹친 주간에도 아이가 단구지구 수업에 가기 전부터 답을 몇 번씩 확인하며 불안해하던 모습이 기억납니다. 선생님께서는 아이의 집중 상태를 살피며 할 수 있는 문제부터 편하게 시작하고, 설명 속도보다 이해했는지를 먼저 확인해 주셨습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 생각해 보는 등 공부를 대하는 태도가 한결 부드러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

저녁마다 숙제를 미루던 아이가 수업 일정에 조금씩 익숙해지는 모습이 보여 단구지구 수학과외를 시작하길 잘했다는 생각이 들었습니다. 시험을 앞둔 어느 날 수업 10분 전, 아이가 틀릴까 봐 질문할 문제를 따로 못 정리했다고 했지만 선생님은 모른다고 말해도 괜찮다며 천천히 물어보셨습니다. 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나눠 주니 아이도 눈치를 덜 보고 스스로 질문하려는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

한동안 쉬었다가 단구지구에서 다시 수학 수업을 시작했을 때 아이가 조금 부담스러워했지만, 선생님은 지난 내용을 짧게 물으며 기억나는 부분부터 자연스럽게 이어 주셨습니다. 시간을 정해 직접 문제를 풀어 보면서 준비 상태도 확인했고, 요즘은 틀린 문제를 그대로 지나치지 않고 집에서 한 번 더 살펴보려는 모습이 보여 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기