단구지구 고2수학과외







접선이 보여도 미분 가능한 것은 아니다
한 학생은 그래프에 접선이 그려지면 미분계수가 존재한다고 판단했다. 그러나 미분가능성은 단순히 접선의 존재 여부가 아니라, 한 점에서 좌우미분계수가 같은 유한한 값으로 존재하는지를 묻는다.
그래프의 국소 모양부터 분류하기
뾰족점에서는 그래프가 연속이어도 좌우기울기가 다르다. 대표적으로 \(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 연속이지만 왼쪽 미분계수는 \(-1\), 오른쪽 미분계수는 \(1\)이므로 미분 가능하지 않다.
첨점은 양쪽 기울기가 서로 다른 방향으로 무한히 커지는 형태다. 예를 들어 \(f(x)=x^{2/3}\)은 \(x=0\)에서 연속이지만 좌우 기울기가 각각 \(-\infty\), \(+\infty\)로 향하므로 미분 가능하지 않다.
수직접선은 좌우 기울기가 같은 방향으로 무한히 커지는 경우다. \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)는 \(x=0\)에서 연속이고 접선은 수직이지만, 미분계수가 유한한 실수로 존재하지 않는다.
좌우미분계수로 오답을 바로잡다
| 유형 | 연속성 | 좌우 기울기 | 미분 가능성 |
|---|---|---|---|
| 뾰족점 | 연속일 수 있음 | 서로 다름 | 불가능 |
| 첨점 | 연속일 수 있음 | 부호가 반대인 무한대 | 불가능 |
| 수직접선 | 연속일 수 있음 | 같은 방향의 무한대 | 불가능 |
| 불연속점 | 불연속 | 미분계수 판단 이전에 탈락 | 불가능 |
보기의 표현을 정확히 읽기
“접선이 존재한다”는 말만으로 “미분 가능하다”고 결론 내리면 안 된다. 수직접선은 기하적으로 접선이 존재하지만 기울기가 유한하지 않다. 따라서 미분 가능하려면 해당 점에서 함수가 정의되고, 연속이며, 좌우미분계수가 같은 유한한 값이어야 한다.
단구지구과외에서 이 유형을 점검할 때도 그래프의 전체 모양보다 문제에서 지정한 점 주변의 좌우 방향과 기울기 크기를 먼저 확인하면 오답 연결을 줄일 수 있다.
최종 검증: 세 질문으로 판단하기
- 그 점에서 함수값이 정의되어 있는가?
- 좌우에서 함수값이 함수값으로 가까워지는가?
- 좌우미분계수가 같은 유한한 값인가?
첫째나 둘째가 성립하지 않으면 연속이 아니며, 셋째가 성립하지 않으면 미분 가능하지 않다. 특히 뾰족점은 좌우미분계수의 불일치, 첨점과 수직접선은 무한대로 발산하는 기울기가 핵심이다.