단구지구 고3수학과외
경계에서 달라지는 조건부확률의 해석
단구지구 생활권에서 고3 수학을 지도하던 중, 학생이 조건부확률 문제의 계산은 빠르게 진행하면서도 매개변수의 끝값에서 사건이 어떻게 바뀌는지는 놓치는 장면이 있었다. 문제는 0≤t≤1인 실수 X를 구간 [0,1]에서 균등하게 뽑을 때,
A={X>1/2}, Bt={X<t}라 하고 P(A|Bt)을 구하는 것이었다.
학생은 곧바로 “조건부확률은 교집합을 조건 사건의 확률로 나누면 된다”고 적었다. 식 자체는 맞았지만, t의 범위를 나누지 않은 채 일반적인 경우를 한 번에 처리하려 했다. 특히 t=0에서도 같은 식을 적용하려 한 것이 최초의 어긋남이었다. 이때 B0={X<0}은 불가능한 사건이므로 조건부확률 자체가 정의되지 않는다.
계산보다 먼저 확인한 조건 사건
풀이를 멈추고 조건 사건의 구간부터 수직선에 표시하게 했다. t≤1/2이면 Bt 안에 X>1/2인 값이 없으므로 교집합 A∩Bt의 길이는 0이다. 단, t=0에서는 조건 사건의 길이도 0이 되어 나눗셈이 불가능하다.
따라서 구간은 다음처럼 분리된다.
- t=0: P(Bt)=0이므로 조건부확률은 정의되지 않음
- 0<t≤1/2: P(A∩Bt)=0, 따라서 P(A|Bt)=0
- 1/2<t≤1: 교집합의 길이는 t-1/2, 조건 사건의 길이는 t이므로 P(A|Bt)=(t-1/2)/t
학생은 처음에 마지막 식만 적으려 했지만, 이제는 일반 구간과 예외 구간을 분리한 뒤 필요한 부분만 계산했다. 사용되지 않는 전체 구간의 길이나 X의 평균은 조건부확률 계산에 필요하지 않다는 점도 옆에 표시했다. 이런 식으로 조건 사건을 먼저 점검하는 습관은 단구지구과외 수업에서 조건부확률의 경계 오류를 줄이는 핵심 행동이 되었다.
숫자가 아닌 조건의 위치를 바꾼 적용
같은 풀이를 기억해서 답하지 못하도록 조건을 바꿨다. 이번에는 A={X≤1/2}, Ct={X≥t}로 두고 P(A|Ct)을 판단하게 했다. 학생은 먼저 C1이 한 점만 포함하는 사건이라 확률이 0은 아니지만 균등분포에서 길이가 0이라는 사실을 확인했다. 따라서 연속확률에서 조건 사건의 확률이 0이 되는 끝점은 조건부확률을 정의할 수 없는 경계로 처리해야 했다.
그다음 0≤t<1에서 t≤1/2와 t>1/2를 나누었다. t≤1/2이면 A∩Ct의 길이는 1/2이고 Ct의 길이는 1-t이므로
P(A|Ct)=(1/2)/(1-t)
가 된다. 반대로 t>1/2이면 교집합의 길이는 0이므로 조건부확률은 0이다. 이전 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라 조건 사건의 방향과 경계의 위치를 바꾸었지만, 학생은 먼저 조건 사건이 비어 있는지, 다음으로 교집합이 어디에서 생기는지를 확인했다.
힌트 없이 남은 판단
마지막으로 해설을 가린 기출형 문항에서 “조건 사건의 범위를 좁힌 뒤 특정 사건이 발생할 확률”을 물었다. 학생은 답부터 고르지 않고 조건 사건의 확률이 0이 되는 매개변수와 사건의 포함 여부가 바뀌는 경계를 따로 적었다. 보기 중 하나를 버릴 때도 단순히 틀렸다고 지우지 않고 “조건 사건이 불가능”, “교집합이 비어 있음”, “경계값을 일반식에 포함함”처럼 탈락 이유를 남겼다.
검산에서는 전체 풀이를 반복하지 않고 가장 위험했던 경계값 하나를 원래 조건에 직접 대입했다. 또한 계산으로 얻은 값이 0과 1 사이인지, 조건 사건이 실제로 남아 있는지 확인했다. 새 조건에서 처음과 같은 방식으로 경계를 찾고 후보를 제거했으므로, 학생의 판단은 정답을 외운 결과가 아니라 조건부확률의 분모와 사건 관계를 끝까지 추적한 결과임을 확인할 수 있었다.