단구지구 중2수학과외

자리수 관계를 연립방정식으로 읽어 내는 수업

섬강중학교, 버들중학교 등이 포함된 생활권의 학교 문제를 참고하더라도 특정 학교의 출제 경향을 단정하지 않고, 문제에 적힌 조건만 따라가도록 했다.

첫 줄에서 생긴 선택

문제는 “십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 2 크고, 두 자리 수와 자리를 바꾼 수의 합은 132이다. 두 숫자를 구하여라”였다. 학생은 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 표시했다. 원래 수를 10x+y, 바꾼 수를 10y+x라고 적은 뒤, 합 조건에서 10x+y+10y+x=132까지는 정확했다.

그런데 첫 조건을 x=y+2로 적은 직후, 합 식의 x를 2로 바꾸어 10×2+y+10y+2=132라고 계산했다. 조건이 달라진 것이 아니라 단순히 x의 값을 2로 읽은 셈이었다. 이때 결과가 맞지 않았다는 사실보다 먼저 살펴야 할 오류는 x와 y의 차이가 2라는 관계를 x 자체의 값으로 바꾼 판단이었다.

“x가 y보다 2 크다는 말은 x=2가 아니라 x-y=2야. 숫자 하나를 정한 것이 아니라 두 미지수의 관계를 정한 거야.”

학생은 첫 조건을 x-y=2로 다시 써서 관계식의 양쪽에 표시했다. 이어 합 식은 11x+11y=132로 정리했다. 두 식에서 x-y는 서로 반대 부호이고, x+y의 계수는 같으므로 이번에는 두 식을 더하는 대신 합 식을 먼저 11로 나누어 x+y=12를 만들었다. 두 식을 나란히 놓고 x+y=12, x-y=2를 비교한 뒤 더하면 2x=14, x=7, y=5가 된다. 원래 수 75와 바꾼 수 57을 더해 132인지 확인하고, 7-5=2인지도 다시 표시했다. 이미 맞았던 ‘자리수를 문자로 정하기’와 ‘두 수를 10x+y, 10y+x로 나타내기’는 그대로 유지했다.

경계가 들어오자 식의 의미를 다시 확인하다

다음 문항은 표현을 바꾸었다. “어떤 두 자리 수는 각 자리 숫자의 합이 9이고, 십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자의 3배보다 1 작다. 단, 십의 자리와 일의 자리 숫자가 같아지는 경우는 제외한다. 가능한 수를 모두 구하여라”였다. 이번에는 숫자를 바로 찾지 않고 x+y=9, x=3y-1을 따로 적었다. 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입해 3y-1+y=9, y=2.5가 나오자, 학생은 자연수 자리 숫자 조건에 맞지 않음을 표시했다.

여기서 학생은 ‘해가 없다’고 곧바로 끝내지 않았다. 자리 숫자는 0부터 9까지의 정수이고, 두 자리 수이므로 x는 1 이상이라는 조건을 옆에 적었다. 따라서 계산된 값이 정수가 아니어서 가능한 수가 없으며, “같아지는 경우 제외”라는 문장은 이 문제에서는 실제 후보를 추가로 걸러 내는 조건이 아니라, 해가 생겼을 때 확인할 예외 조건임을 설명했다. 조건의 위치가 뒤에 붙어 있어도 먼저 식으로 옮긴 뒤 후보가 있는지 살펴야 한다는 점을 짚었다.

표와 질문 방향을 바꾼 독립 적용

교사는 숫자를 직접 제시하지 않고 표를 보여 주었다. 한 행에는 십의 자리 x, 일의 자리 y, 원래 수 10x+y, 자리 바꾼 수 10y+x가 적혀 있었고, “두 수의 차가 27이며 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 3 크다. 큰 수를 구하라”는 질문이 붙었다.

학생은 먼저 큰 수를 추측하지 않았다. 차의 방향을 확인해 (10x+y)-(10y+x)=27, 자리 관계를 x-y=3으로 세웠다. 첫 식을 9x-9y=27로 정리하자 두 식 모두 x-y를 포함한다는 것을 발견하고, 첫 식을 9로 나누어 x-y=3을 얻었다. 두 조건이 같은 식이므로 새로운 해를 정하려면 자리 숫자의 범위와 두 자리 수 조건을 함께 봐야 한다고 말했다. x=y+3에서 y는 0부터 6까지 가능하고 x는 3부터 9까지 가능하므로 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96이 후보라고 표에 적었다. 질문이 “큰 수를 하나”가 아니라 “가능한 수를 모두”라면 해가 여러 개일 수 있다는 점까지 확인했다.

힌트 없이 경계와 예외를 설명한 검산

마지막 문제에서 학생은 “두 자리 수의 자리 합은 10, 십의 자리 숫자는 일의 자리보다 4 작다. 자리 바꾼 수가 원래 수보다 큰 경우만 구하라”는 문장을 읽고, x+y=10과 x=y-4를 먼저 세웠다. x=3, y=7을 얻은 뒤 원래 수 37, 바꾼 수 73을 계산했다.

학생은 “x가 y보다 작다는 조건 때문에 자리 바꾼 수가 더 큰 쪽으로 정해진다”고 설명하고, 실제 차이 73-37=36, 자리 차이 7-3=4를 각각 검산했다. 또 x와 y가 같아지는 경계에서는 두 수가 같아져 ‘더 큰 경우’가 될 수 없으므로 제외된다고 덧붙였다. 도움 없이 문장의 두 조건을 각각 식에 반영하고, 자리 숫자의 범위와 경계 안팎까지 확인한 장면에서 자리수 연립방정식의 판단이 재현되었다.