신시가지 중1수학과외

신시가지 중1수학과외에서 이어진 과부족방정식 풀이

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문장을 식으로 옮기기 전, 조건부터 다시 읽다

문제는 다음과 같았다.

어떤 수에 4를 더하면 20이 되고, 그 수의 3배에서 2를 뺀 값은 16이다. 두 조건을 모두 만족하는 수를 구하여라.

학생은 공책에 곧바로 x+4=20을 적고 x=16이라고 계산했다. 이어 두 번째 조건을 확인하지 않은 채 답을 16으로 표시하려 했다. 이 풀이에서 계산 자체가 틀린 것이 아니라, ‘어떤 수’를 x로 정한 뒤 두 문장의 조건을 모두 연결해야 한다는 판단이 빠져 있었다. 첫 번째 문장만으로 답을 확정한 것이 최초의 어긋남이었다.

학생이 적은 첫 식은 그대로 인정하되, 그 식이 뜻하는 범위를 분명히 했다. ‘x는 어떤 수’라고 쓴 다음, ‘4를 더한 결과가 20’이라는 문장만 x+4=20으로 옮겼다. 그리고 두 번째 문장은 3x-2=16으로 따로 적었다. 두 식을 나란히 놓고 보니 첫 식에서 얻은 x=16은 두 번째 식에 넣었을 때 3×16-2=46이 되어 조건을 만족하지 못했다. 따라서 이 문제는 단순히 한 식을 계산하는 문제가 아니라, 문장 속 조건과 미지수의 대응을 끝까지 유지해야 하는 문제임을 확인했다.

표현이 바뀌어도 같은 조건을 찾는 연습

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다.

한 수의 3배보다 2 작은 수가 16이다. 이 수에 4를 더한 값도 20이 될 때, 한 수를 구하여라.

학생은 이번에는 숫자부터 찾지 않고 ‘한 수’를 x로 표시했다. ‘3배보다 2 작은 수’는 3x-2, ‘16이다’는 3x-2=16으로 바꾸었다. 양변에 2를 더해 3x=18, 양변을 3으로 나누어 x=6을 얻었다. 이어 다른 조건인 x+4=20에 대입하여 6+4=10이므로 두 문장을 동시에 만족하지 않는다는 것을 발견했다.

이때 학생은 앞의 문제에서 얻은 식을 모양만 복사하지 않았다. 문장의 순서가 달라져도 먼저 미지수의 뜻을 정하고, 각 조건이 어떤 식으로 연결되는지 확인했다. 두 조건이 서로 맞지 않는 문제라면 억지로 하나의 답을 만들지 않고, 조건을 동시에 만족하는 수가 없다고 판단해야 한다는 점도 식의 대입으로 확인했다.

분수와 소수로 바뀐 과부족 조건

표현을 한 번 더 바꾸어 다음 조건을 제시했다.

어떤 수의 2배에서 0.5를 빼면 7.5이다. 그 수에 1/2을 더한 값은 얼마인지 구하여라.

학생은 x를 어떤 수라고 적고, 첫 문장을 2x-0.5=7.5로 바꾸었다. 양변에 0.5를 더해 2x=8, 양변을 2로 나누어 x=4를 구했다. 질문은 원래 수가 아니라 ‘그 수에 1/2을 더한 값’이므로, 답을 4로 끝내지 않고 4+1/2=4.5라고 정리했다.

풀이 중간에 학생은 “0.5를 더한 이유는 -0.5를 없애기 위해서이고, 마지막에 1/2을 더한 것은 문제에서 새로 묻는 값이기 때문”이라고 한 줄로 설명했다. 같은 수를 가리키는 표현인지, 구한 수를 이용해 다시 계산해야 하는 표현인지 구분한 것이다.

힌트 없이 조건과 검산을 다시 세우다

수업 끝에는 새로운 문장을 제시하고 풀이 과정을 가리지 않았다.

어떤 수에서 3을 빼고 2배한 값이 14이다. 그 수의 1/2에 2를 더한 값도 구하여라.

학생은 스스로 “어떤 수를 x라 하자”라고 적었다. ‘3을 뺀 뒤 2배한 값’이므로 2(x-3)=14라고 판단하고, 양변을 2로 나누어 x-3=7, 양변에 3을 더해 x=10을 얻었다. 이어 질문에 맞춰 10/2+2=7을 계산했다.

검산할 때는 구한 x=10을 원래 조건에 대입했다. 2(10-3)=14이므로 문장 조건과 일치했다. 학생은 “괄호 안에서 먼저 3을 빼고 그 결과를 2배한다. 따라서 2x-3이 아니라 2(x-3)으로 써야 한다”고 설명했다. 과부족방정식의 문장이 식으로 바뀌는 순간을 확인하고, 구한 미지수를 원래 등식에 되돌려 넣는 검산까지 혼자 재현한 장면이었다.

답보다 먼저 조건을 표시하고, 마지막에는 원래 문장에 결과를 대입하는 과정이 풀이의 기준이 되었다.