런맵

남천동 중3수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

남천동 중3수학과외에서 확인한 차의 제곱 인수분해의 경계

남천동과외 수업에서 서술형 답안을 살펴보던 중, 학생이 계산은 빠르게 진행했지만 식의 모양이 바뀌는 순간 판단 기준을 놓치는 장면이 나타났습니다.

답안에 남은 첫 선택

문제는 다음과 같았습니다.

다음 식을 인수분해하고, 그렇게 판단한 이유를 쓰시오.
25a2-36b2

학생은 먼저 25a2와 36b2를 각각 확인하고, 제곱수라는 표시를 했습니다. 이어서 25a2의 제곱근을 5a, 36b2의 제곱근을 6b로 적었습니다. 여기까지의 읽기와 계산은 맞았습니다. 그런데 답안에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

25a2-36b2=(5a-6b)(5a-6b)

학생은 “두 항의 제곱근을 찾았고, 두 인수의 곱으로 돌아와야 하므로 같은 인수를 두 번 썼다”고 설명했습니다. 하지만 이 단계에서 이미 결과가 달라졌습니다. 두 항이 제곱 형태라는 조건 하나만 확인하고, 원식 가운데가 ‘뺄셈’이라는 조건을 인수의 부호에 반영하지 않았기 때문입니다. 마지막 전개 계산에서 실수한 것이 아니라, 인수를 고르는 최초의 판단이 어긋난 것입니다.

부호 하나만 다시 선택하기

풀이를 전부 새로 쓰게 하지 않고, 학생이 이미 찾은 5a와 6b는 그대로 두었습니다. 바꾼 것은 인수 사이의 부호뿐이었습니다.

25a2-36b2에서 앞의 항은 (5a)2, 뒤의 항은 (6b)2입니다. 두 제곱의 차는 두 제곱근의 차와 합을 곱하는 모양이어야 하므로 다음처럼 적습니다.

25a2-36b2=(5a-6b)(5a+6b)

학생은 앞서 찾은 제곱근을 유지한 채 두 번째 인수의 부호만 바꾸었습니다. 그리고 전개하여

(5a-6b)(5a+6b)=25a2+30ab-30ab-36b2=25a2-36b2

라고 확인했습니다. 가운데 항이 서로 없어지는 이유까지 적으면서, 뺄셈으로 된 두 제곱에서는 인수의 부호가 서로 달라야 한다는 기준을 답안에 남겼습니다.

모양이 달라진 식에서 다시 판단하기

다음 시간에는 숫자만 바꾼 식이 아닌, 한쪽 제곱이 괄호 안에 들어간 문제를 제시했습니다.

다음 식을 인수분해하시오.
49p2-(2q)2

학생은 먼저 49p2를 (7p)2로, (2q)2는 그대로 제곱 형태로 표시했습니다. 그다음 식 전체가 ‘첫 번째 제곱-두 번째 제곱’인지 확인하고, 7p와 2q를 각각 두 인수에 배치했습니다.

49p2-(2q)2=(7p-2q)(7p+2q)

이번에는 괄호 안의 항을 억지로 전개하지 않고, 제곱근의 모양을 먼저 읽었습니다. 또한 식의 순서를 바꾸어

(2q)2-49p2

로 제시했을 때도 앞뒤를 바꾸어 단순히 같은 답을 쓰지 않았습니다. 어느 제곱이 먼저 놓였는지에 따라 인수의 첫 부호가 달라진다는 점을 확인하여

(2q-7p)(2q+7p)

로 정리했습니다. 조건의 위치와 항의 순서가 달라져도 ‘두 제곱의 차’인지 먼저 판단한 뒤 부호를 정했습니다.

힌트 없이 남긴 마지막 검증

마지막에는 도움 없이 다음 식을 풀게 했습니다.

81r2-100s2를 인수분해하고, 다른 형태로는 적용할 수 없는 경계를 설명하시오.

학생은 81r2=(9r)2, 100s2=(10s)2라고 표시한 뒤, 두 항 사이가 뺄셈이므로

81r2-100s2=(9r-10s)(9r+10s)

라고 썼습니다. 이어서 “두 항이 제곱 형태이고 가운데가 뺄셈일 때만 이 모양을 선택한다. 덧셈으로 바뀌면 같은 두 인수를 사용할 수 없고, 제곱근을 찾았다는 사실만으로 차의 제곱 인수분해를 적용할 수는 없다”고 설명했습니다. 마지막으로 직접 전개하여 81r2+90rs-90rs-100s2가 원식과 같음을 확인했습니다. 이번 검증은 부호를 외운 결과가 아니라, 식의 제곱 형태와 뺄셈 조건을 스스로 다시 선택한 과정이었습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중3 점검 기준

누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
중등29~44만 원26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

학년별 개념과 연습 함께 보기

이 지역의 학습 예시와 함께 현재 학년의 공부 방법을 살펴보세요.

중3 수학 학습 가이드 →

남천동 중3수학과외 수업 후기

책상 위 문제집을 한쪽으로 밀어두려다 잠깐 방에 들어갔는데, 아이가 이미 푼 문제를 그냥 넘기지 않고 다시 읽고 있더라고요. 숫자부터 훑을 줄 알았는데 수치 옆이 아니라 조건이 적힌 문장에 먼저 짧게 표시를 하길래 잠시 지켜봤어요. 전에는 한 번 끝낸 자료 중에서 무엇을 다시 볼지 스스로 고르는 일이 거의 없었거든요. 남천동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 생각하지 못했는데, 이번에는 문제를 읽는 순서부터 달라 보였어요. 새로운 조건이 붙은 문제를 펼쳤을 때도 숫자에 바로 손대지 않고 조건 문장부터 다시 확인했습니다. 여러 군데에 표시한 것도 아니고, 필요한 한 부분만 남겨둔 채 그 문장을 오래 들여다보고 있었어요.

★★★★☆수업 후기

수학 노트를 정리하다가 원래 시험지를 펼쳐 둔 걸 봤어요. 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적은 게 아니라, 각 문제 옆에 왜 틀렸는지만 짧게 남겨 두었더라고요. 아직 해결하지 못한 부분에는 표시도 해두고요. 전에는 다시 볼 때 어디부터 손대야 할지 정하지 못한 채 답지만 뒤적이는 일이 많았거든요. 저녁을 먹고 방에 잠깐 들어갔을 때도 그 시험지가 책상 위에 있었습니다. 문제를 새로 풀고 있는 줄 알았는데, 아이가 적어 둔 이유를 따라가며 다시 확인하고 있었어요. 남천동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 식으로 본인이 남긴 흔적이 눈에 들어오니 예전과는 순서가 달라졌다는 생각이 들었습니다. 예전에는 틀린 문제를 한곳에 모아야 다시 보기 편하다고만 생각했는데, 이번에는 원본에서 틀린 까닭을 바로 찾아볼 수 있게 해두었어요. 마지막까지 해결되지 않은 문제는 지우지 않고 표시한 채 남겨 둔 모습도 보였습니다.

★★★★★수업 후기

새 문제집을 펼쳐 둔 날, 지나가다 아이가 시험지를 한참 보고 있는 걸 봤어요. 틀린 문제를 따로 유형별로 옮겨 적은 건 아니고, 원래 시험지 여백에 왜 틀렸는지만 짧게 써두었더라고요. 어디에서 다시 봐야 할지 종이를 펼치자마자 보이는 방식이었어요. 남천동 수학과외를 알아볼 때만 해도 이런 장면은 낯설었습니다. 예전에는 막힌 문제가 있어도 그 자리에 별다른 흔적을 남기지 않아 나중에 다시 펼쳐도 어디가 어려웠는지 알기 힘들었거든요. 이번엔 틀린 이유가 문제 옆에 남아 있어서 지나가며 본 저도 바로 알아볼 수 있었어요. 새로운 서술형 문제를 풀던 날에도 답만 확인하고 넘어가지 않았습니다. 시험지에 틀린 까닭을 짧게 적어 두고, 나중에 다시 확인할 지점을 그대로 남겨 두었어요. 긴 정리 대신 문제 옆의 한 줄이 눈에 들어왔습니다.

★★★★★수업 후기

학교 숙제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 수업 시간을 피하지 않고 남천동 선생님과 차분히 시작하는 모습이 인상적이었습니다. 선생님은 아이가 완벽하게 준비하려는 마음을 알아주고 쉬운 문제부터 풀게 하며, 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나누어 부담을 줄여 주셨습니다. 틀린 답을 보고도 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보는 변화가 보여 부모로서 안심이 됐습니다.

★★★★★수업 후기

남천동에서 수학과외를 시작하기 전에는 숙제를 펼쳐 놓고도 집중이 금방 흐트러져 수학은 늘 뒤로 미뤘습니다. 어느 날 모르는 문제가 여러 개 생겨 질문을 적어 갔더니, 선생님은 답을 바로 고치기보다 제가 어느 부분에서 다르게 생각했는지 차분히 함께 찾아 주셨습니다. 요즘은 수업에서 궁금했던 점을 먼저 꺼내고, 숙제도 예전보다 스스로 시작하는 편입니다.

★★★★★수업 후기

수학 숙제를 끝내는 데만 급급하던 아이가 남천동 수업을 다녀온 뒤에는 풀이를 왜 그렇게 했는지 조금씩 말하기 시작했습니다. 선생님은 진도를 잠시 멈추고 기초 문제를 함께 복습하면서 같은 실수가 나오면 문제를 늘리기보다 이유부터 차분히 짚어 주셨고, 해야 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 관리해 주셨습니다. 복습을 미루는 날에도 다음 날 다시 이어가는 모습이 보여 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★수업 후기