남천동 중3수학과외







남천동 중3수학과외에서 확인한 차의 제곱 인수분해의 경계
남천동과외 수업에서 서술형 답안을 살펴보던 중, 학생이 계산은 빠르게 진행했지만 식의 모양이 바뀌는 순간 판단 기준을 놓치는 장면이 나타났습니다.
답안에 남은 첫 선택
문제는 다음과 같았습니다.
다음 식을 인수분해하고, 그렇게 판단한 이유를 쓰시오.
25a2-36b2
학생은 먼저 25a2와 36b2를 각각 확인하고, 제곱수라는 표시를 했습니다. 이어서 25a2의 제곱근을 5a, 36b2의 제곱근을 6b로 적었습니다. 여기까지의 읽기와 계산은 맞았습니다. 그런데 답안에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
25a2-36b2=(5a-6b)(5a-6b)
학생은 “두 항의 제곱근을 찾았고, 두 인수의 곱으로 돌아와야 하므로 같은 인수를 두 번 썼다”고 설명했습니다. 하지만 이 단계에서 이미 결과가 달라졌습니다. 두 항이 제곱 형태라는 조건 하나만 확인하고, 원식 가운데가 ‘뺄셈’이라는 조건을 인수의 부호에 반영하지 않았기 때문입니다. 마지막 전개 계산에서 실수한 것이 아니라, 인수를 고르는 최초의 판단이 어긋난 것입니다.
부호 하나만 다시 선택하기
풀이를 전부 새로 쓰게 하지 않고, 학생이 이미 찾은 5a와 6b는 그대로 두었습니다. 바꾼 것은 인수 사이의 부호뿐이었습니다.
25a2-36b2에서 앞의 항은 (5a)2, 뒤의 항은 (6b)2입니다. 두 제곱의 차는 두 제곱근의 차와 합을 곱하는 모양이어야 하므로 다음처럼 적습니다.
25a2-36b2=(5a-6b)(5a+6b)
학생은 앞서 찾은 제곱근을 유지한 채 두 번째 인수의 부호만 바꾸었습니다. 그리고 전개하여
(5a-6b)(5a+6b)=25a2+30ab-30ab-36b2=25a2-36b2
라고 확인했습니다. 가운데 항이 서로 없어지는 이유까지 적으면서, 뺄셈으로 된 두 제곱에서는 인수의 부호가 서로 달라야 한다는 기준을 답안에 남겼습니다.
모양이 달라진 식에서 다시 판단하기
다음 시간에는 숫자만 바꾼 식이 아닌, 한쪽 제곱이 괄호 안에 들어간 문제를 제시했습니다.
다음 식을 인수분해하시오.
49p2-(2q)2
학생은 먼저 49p2를 (7p)2로, (2q)2는 그대로 제곱 형태로 표시했습니다. 그다음 식 전체가 ‘첫 번째 제곱-두 번째 제곱’인지 확인하고, 7p와 2q를 각각 두 인수에 배치했습니다.
49p2-(2q)2=(7p-2q)(7p+2q)
이번에는 괄호 안의 항을 억지로 전개하지 않고, 제곱근의 모양을 먼저 읽었습니다. 또한 식의 순서를 바꾸어
(2q)2-49p2
로 제시했을 때도 앞뒤를 바꾸어 단순히 같은 답을 쓰지 않았습니다. 어느 제곱이 먼저 놓였는지에 따라 인수의 첫 부호가 달라진다는 점을 확인하여
(2q-7p)(2q+7p)
로 정리했습니다. 조건의 위치와 항의 순서가 달라져도 ‘두 제곱의 차’인지 먼저 판단한 뒤 부호를 정했습니다.
힌트 없이 남긴 마지막 검증
마지막에는 도움 없이 다음 식을 풀게 했습니다.
81r2-100s2를 인수분해하고, 다른 형태로는 적용할 수 없는 경계를 설명하시오.
학생은 81r2=(9r)2, 100s2=(10s)2라고 표시한 뒤, 두 항 사이가 뺄셈이므로
81r2-100s2=(9r-10s)(9r+10s)
라고 썼습니다. 이어서 “두 항이 제곱 형태이고 가운데가 뺄셈일 때만 이 모양을 선택한다. 덧셈으로 바뀌면 같은 두 인수를 사용할 수 없고, 제곱근을 찾았다는 사실만으로 차의 제곱 인수분해를 적용할 수는 없다”고 설명했습니다. 마지막으로 직접 전개하여 81r2+90rs-90rs-100s2가 원식과 같음을 확인했습니다. 이번 검증은 부호를 외운 결과가 아니라, 식의 제곱 형태와 뺄셈 조건을 스스로 다시 선택한 과정이었습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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