남천동 고3수학과외

접근점과 함수값을 따로 세운 극한 검증

남천동의 아파트와 도서관이 이어진 생활권에서 수능 기출을 풀던 학생은 함수의 극한 문제를 계산보다 먼저 판별하려 했다.

f(x)=log(x-1) (x>1), f(1)=0으로 정의할 때, x가 1의 오른쪽에서 1에 가까워질 때의 극한과 f(1)을 비교하라.

학생은 곧바로 “x가 1에 가까워지므로 f(1)=0을 대입하면 극한도 0”이라고 적었다. 여기서 풀이가 처음 어긋났다. 극한의 접근값과 해당 점에서의 함수값을 구분하지 않은 채, 일반적인 대입 규칙을 경계점에 그대로 적용한 것이다. 더구나 log(x-1)은 진수가 양수여야 하므로 x=1에서는 식 자체를 사용할 수 없다.

경계에서 멈춰야 할 계산

학생의 식 옆에 먼저 “x-1>0, x→1+”를 적게 했다. 이 한 줄로 정의역과 접근 방향을 고정했다. t=x-1이라 두면 x→1+일 때 t→0+이고, log t는 음의 방향으로 끝없이 작아진다. 따라서

lim_x→1+ log(x-1)=-∞

이다. 반면 문제에서 따로 정한 f(1)은 0이다. 즉 접근할 때의 값과 점에 실제로 부여된 함수값은 같지 않다. 학생은 처음에 적은 0을 지우는 대신, “극한: -∞ / 함수값: 0”을 두 칸으로 나누어 기록했다. 이후 끝점이나 정의역의 경계가 나오면 일반 구간의 계산과 예외값을 같은 식으로 처리하지 않기로 했다.

교정 뒤에는 일반 구간과 경계 구간을 분리하는 행동만 사용했다. 먼저 로그의 진수 조건을 후보 옆에 남기고, 그 조건으로 접근 가능한 방향을 결정했다. 그 다음 함수값이 별도로 제시되었는지 확인했다. 복잡한 검산을 덧붙이지 않고, 마지막에 경계값 하나를 원래 식에 넣을 수 있는지만 반례처럼 확인했다. x=1을 log(x-1)에 넣을 수 없다는 사실이 처음 결론을 즉시 걸러냈다.

조건을 바꿔도 남아 있는 구분

다음 날에는 해설 표시를 치운 뒤 문제가 바뀌었다.

g(x)=(x²-4)/(x-2) (x≠2), g(2)=5일 때, lim_x→2g(x)와 g(2)를 비교하라.

이번에는 로그가 사라지고 정의역 조건의 위치가 바뀌었다. 학생은 먼저 x≠2를 적은 뒤, x²-4=(x-2)(x+2)로 정리했다. 원래 식은 x=2에서 사용할 수 없지만, x가 2에 접근할 때에는 약분된 식 x+2를 이용할 수 있으므로 극한은 4이다. 별도로 주어진 g(2)=5와는 다르다.

학생은 “약분했으니 g(2)도 4”라고 결론내리지 않았다. 약분은 접근 과정의 식을 정리한 것이며, 삭제된 점의 함수값까지 바꾼 것은 아니라고 풀이 옆에 적었다. 첫 문제에서 사용한 로그의 양수 조건 대신 이번에는 x≠2라는 제외 조건을 표시했지만, 경계 또는 제외점과 함수값을 분리하는 판단은 그대로 유지되었다.

힌트 없는 세 줄 점검

마지막으로 수치를 문자로 바꾼 문제를 풀게 했다. h(x)=(x²-a²)/(x-a) (x≠a), h(a)=b이고 a가 실수일 때, x→a에서의 극한과 함수값의 관계를 설명하는 문제였다. 학생은 먼저 a≠x라는 조건을 찾고, 분자를 인수분해해 x+a를 얻었다. 이어 접근값을 대입해 2a를 구한 뒤, 별도로 주어진 b와 비교했다.

이번에는 답만 쓰지 않고 “x=a에서는 원래 식을 쓸 수 없으므로 약분 결과는 극한 계산에만 사용한다”고 첫 식의 근거를 설명했다. 또한 a=0인 경우에도 제외 조건은 여전히 남는지 확인하고, b=2a일 때에만 극한과 함수값이 같아진다고 조건을 역추적했다. 경계에서 정의역을 먼저 확인하고, 접근값과 함수값을 다른 칸에 기록하는 교정 행동이 새로운 문자 문제에서도 스스로 나타난 것이다.