남천동 중2수학과외

경계값에서 드러난 부등식과 방정식의 차이

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학생의 첫 풀이에서 보인 흔적

학생은 다음 두 문장을 한 줄씩 옮겨 적었다.

x+3=7,　x+3≤7

먼저 두 식에서 3을 빼고 각각 x=4, x≤4라고 썼다. 여기까지는 정확했다. 이어서 ‘x는 4보다 작다’라는 문장을 보고 두 식의 차이를 “답에 숫자가 하나 더 붙는가의 차이”라고 표시했다. 교사는 학생에게 수직선을 그리게 했고, 학생은 방정식의 4에는 점 하나, 부등식의 4에는 선을 칠했다. 그러나 점을 칠해야 하는지 비워 두어야 하는지는 아직 설명하지 못했다.

다음 보기에서 문제가 분명해졌다.

-2x+5≥9

학생은 양변에서 5를 빼어 -2x≥4까지 적었다. 그런데 양변을 -2로 나누면서 부등호를 그대로 두어 x≥-2라고 결론 냈다. 이때 답을 대입해 보지는 않고, 앞 문제에서 구한 x≤4와 모양이 비슷하다는 이유로 풀이를 진행하려 했다.

처음 어긋난 판단만 바로잡기

결과인 x≥-2가 틀렸다고만 지적하지 않고, 나누기 직전의 한 줄을 다시 보게 했다. 음수로 양변을 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다는 조건을 빠뜨린 것이 최초의 잘못된 판단이었다.

이미 맞게 처리한 양변에서 5를 뺀 과정은 그대로 두었다. 그다음 -2로 나누는 줄에 빨간 화살표를 그려 다음처럼 고쳤다.

-2x≥4
x≤-2

학생은 수직선에 -2를 표시하면서, ≥나 ≤처럼 경계값을 포함하는 부등식은 점을 채운다고 적었다. 그리고 -2를 원래 식에 넣어 -2×(-2)+5=9가 되는지 계산했다. 등호가 성립하므로 -2가 답의 범위에 포함된다는 사실도 확인했다. 반대로 x=-1을 넣으면 7≥9가 되어 거짓이므로 -1 쪽은 칠하지 않았다.

표현을 바꾼 문제에서 경계를 먼저 찾다

같은 숫자를 반복하지 않고 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 수직선에 -3에서 채워진 점이 있고, 그 점의 왼쪽 부분이 색칠되어 있었다. 학생에게 식을 고르도록 하자, 그림을 곧바로 x≤-3이라고 쓰지 않고 먼저 “채워진 점이므로 -3을 포함하고, 왼쪽이므로 -3보다 작은 수”라고 말한 뒤 기호를 정했다.

다음에는 문장의 조건 순서를 바꾸었다.

어떤 수에 4를 더한 값이 10보다 작지 않다. 그 수를 구하여라.

학생은 ‘작지 않다’를 처음에 x+4>10으로 적으려다 멈췄다. ‘작지 않다’는 10보다 크거나 같은 것이라고 문장 옆에 다시 표시하고 x+4≥10, x≥6으로 고쳤다. 경계값 6을 넣으면 10≥10이 되어 포함되고, 5를 넣으면 9≥10이 아니므로 제외된다는 검산도 이어졌다.

마지막으로 방정식과 부등식을 섞은 보기에서 학생은 식의 모양만 보고 판단하지 않았다. 2x-1=5에는 x=3이라는 하나의 값만 표시하고, 2x-1<5에는 x<3이라고 쓴 뒤 수직선의 3을 빈 점으로 나타냈다. “방정식은 등호를 만족하는 값을 찾고, 부등식은 조건을 만족하는 범위를 찾는다. 경계가 포함되는지는 등호가 붙었는지와 문장의 뜻을 함께 본다”고 직접 설명했다.

힌트 없이 재현한 최종 확인

수업 끝에 새 문제를 제시했다.

3-4x≤11

학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “4가 아니라 -4로 나누게 되므로 방향을 바꿔야 한다”고 말했다. 양변에서 3을 빼어 -4x≤8을 만든 뒤 x≥-2라고 정리했다. -2를 대입하면 11≤11이므로 경계는 채운 점, 0을 대입하면 3≤11이므로 오른쪽 범위가 맞다고 설명했다.

이어 “만약 3-4x=11이라면 x=-2 하나만 답이고, 부등식에서는 -2를 포함한 오른쪽 전체가 답”이라고 비교했다. 부호, 경계 포함 여부, 수직선 방향을 차례로 확인한 것이다. 이처럼 남천동중2수학과외에서는 계산 과정을 무너뜨리지 않고, 처음 잘못 선택한 판단인 음수로 나눌 때 부등호를 그대로 둔 순간을 정확히 찾아 고치는 데 초점을 맞췄다.