아산탕정신도시 중3수학과외

산점도의 첫 판단을 다시 확인한 아산탕정신도시 중3수학과외

이번 수업에서는 산점도에서 양의 상관관계인지 판단하는 기준 하나만 다루었습니다.

완성된 풀이에서 거꾸로 찾은 첫 어긋남

프린트의 문제는 다음과 같았습니다.

다음 표는 하루 공부 시간과 수학 문제 정답 수를 나타낸 것이다. 두 자료를 산점도로 나타냈을 때 두 변수 사이의 상관관계를 판단하시오.

공부 시간(시간)	1	2	2	3	4	5
정답 수(개)	6	7	5	9	10	11

학생은 완성 풀이를 뒤에서부터 읽으며 자신이 적은 표시를 확인했습니다. 가로축은 ‘공부 시간’, 세로축은 ‘정답 수’라고 쓰고 점도 모두 찍었지만, 두 번째와 세 번째 점이 아래쪽에 있다는 이유로 “점들이 흩어져 있으므로 상관관계가 없다”고 결론 냈습니다. 계산 과정에서 틀린 부분을 찾으려 했으나, 이 문제에는 별도의 계산식이 필요하지 않았습니다.

오답으로 이어진 가장 이른 판단은 일부 낮은 점과 겉모양만 보고 전체 점의 흐름을 단정한 것이었습니다. 축의 의미를 확인한 뒤에도 점 전체가 오른쪽으로 갈수록 대체로 위로 올라가는지 읽지 않았던 것입니다. 따라서 마지막 결론보다 먼저 고쳐야 할 곳은 점의 분포를 바라보는 기준이었습니다.

점 하나가 아니라 전체 방향을 읽기

학생의 표시를 지우지 않고, 먼저 축 이름을 소리 내어 확인하게 했습니다. 가로축이 공부 시간이라서 오른쪽으로 갈수록 시간이 늘고, 세로축이 정답 수라서 위로 갈수록 정답 수가 많아집니다. 이제 왼쪽의 점들에서 오른쪽의 점들로 시선을 옮겼습니다.

• (1, 6)에서 (2, 7), (3, 9), (4, 10), (5, 11) 쪽으로 전체 흐름이 올라갑니다.
• (2, 5)는 주변보다 낮지만, 한 점의 위치가 전체 방향을 없애지는 않습니다.
• 따라서 두 변수는 대체로 함께 증가하므로 양의 상관관계가 있다고 판단합니다.

교정은 하나였습니다. 점을 찍은 뒤 낮은 점 하나를 근거로 결론 내리지 않고, 두 축의 의미를 확인한 다음 모든 점이 이루는 전체 흐름을 읽는 것입니다. 앞서 맞게 표시한 좌표와 점은 그대로 두고 판단 기준만 바꾸었습니다.

표가 아닌 그림으로 바뀐 문제

며칠 뒤에는 중간 풀이가 보이지 않는 새 문제를 제시했습니다. 이번에는 표 대신 다음과 같은 산점도 설명이 주어졌습니다.

가로축은 기온(℃), 세로축은 아이스크림 판매량(개)이다. 점 A부터 H까지가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위 방향으로 대체로 퍼져 있으나, 오른쪽 아래에 점 하나가 있다. 두 자료의 상관관계를 판단하고 이유를 쓰시오.

학생은 먼저 “오른쪽은 기온이 높고 위쪽은 판매량이 많다는 뜻”이라고 축의 의미를 적었습니다. 이어 점 A부터 H까지 한 점씩 살펴본 뒤, 오른쪽 위로 향하는 전체 흐름을 확인했습니다. 오른쪽 아래의 점 하나는 눈에 띄지만 전체 점의 방향과 비교해야 한다고 설명하며 “기온이 높을수록 아이스크림 판매량도 대체로 많아지는 양의 상관관계”라고 썼습니다. 표의 숫자를 단순히 바꾼 문제가 아니라, 축의 의미와 점의 위치를 그림에서 읽어야 하는 상황에서도 같은 판단 기준을 적용한 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 산점도

마지막에는 아무 설명 없이 새로운 산점도만 보여 주었습니다. 가로축은 주행 거리, 세로축은 남은 배터리 양이었고, 점들은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 모양에 가까웠습니다. 학생은 먼저 축의 의미를 읽은 뒤 “주행 거리가 늘어날수록 남은 배터리 양은 대체로 줄어든다”고 말했습니다. 이어 흐름이 오른쪽 위가 아니라 오른쪽 아래이므로 양의 상관관계가 아니라고 판단했습니다.

학생은 판단 근거도 덧붙였습니다. “점 하나가 아니라 전체 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 보았을 때 내려가는 방향이므로, 양의 방향과 일치하지 않는다.” 마지막으로 축을 반대로 읽지 않았는지 다시 확인하고, 실제 점들의 분포가 자신의 설명과 맞는지 대조했습니다. 새 산점도에서도 두 축의 의미와 전체 점의 흐름을 스스로 선택해 검증했으므로, 양의 상관관계 판단을 힌트 없이 재현했습니다.