아산탕정신도시 고2수학과외







학생 풀이 기록에서 드러난 첫 판단
한 학생은 이항분포 문제에서 먼저 직접합과 여사건을 비교했다. 시행횟수 \(n\)이 크고 물어본 사건이 ‘적어도 한 번 성공’이라면, 성공 횟수를 모두 더하기보다 실패만 일어나는 경우를 빼는 편이 간단하다고 판단했다. 이처럼 시행횟수를 먼저 확인하는 습관은 아산탕정신도시과외 수업에서도 계산 실수를 줄이는 출발점이 된다.
오답이 된 식
성공확률이 \(p\), 실패확률이 \(1-p\)인 독립 시행을 \(n\)번 할 때 \(X\)를 성공 횟수라 하자. 학생은
\[ P(X\ge 1)=P(X=1) \]
로 계산했다. 그러나 \(X\ge1\)에는 \(X=1,2,\ldots,n\)이 모두 포함된다. 따라서 한 번만 성공하는 경우와 한 번 이상 성공하는 경우를 구별해야 한다.
한 식으로 고치는 이항분포의 범위
적어도 한 번 성공하는 경우
사건 \(X\ge1\)의 여사건은 \(X=0\)이다. 그러므로
\[ P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n \]
이다. 이는 \(X=1\)만 계산한 값보다 크거나 같으며, \(n\ge2\)이고 \(0
수치로 비교하기
예를 들어 \(n=12,\ p=0.2\)이면
\[ P(X=1)=\binom{12}{1}(0.2)(0.8)^{11} \]
이고, 적어도 한 번 성공할 확률은
\[ P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(0.8)^{12} \]
이다. 두 식은 서로 다른 사건을 나타내므로 같은 값으로 둘 수 없다.
새 문제에서 여사건을 선택하는 기준
이번에는 \(X\sim B(n,p)\)일 때 \(P(X\ge3)\)을 구한다고 하자. 이 사건의 여사건은 \(X\le2\)이므로
\[ P(X\ge3)=1-P(X\le2) =1-\left\{P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right\} \]
로 바꾼다. 즉, \(P(X\ge r)\)은 다음처럼 정리할 수 있다.
\[ P(X\ge r)=1-P(X\le r-1) \]
다만 \(r=1\)일 때는 \(P(X\le0)=P(X=0)\) 하나만 계산하면 되므로 특히 간단하다. 반대로 \(P(X=1)\)처럼 정확히 한 번을 묻는 문제에는 여사건을 적용하지 않고 이항분포의 확률질량함수를 직접 사용한다.
최종 확인 질문
- 시행횟수 \(n\)과 성공 횟수 \(X\)를 먼저 확인했는가?
- ‘정확히 한 번’과 ‘적어도 한 번’을 구별했는가?
- 여사건의 범위를 \(X=0\), \(X\le r-1\)처럼 정확히 썼는가?
- 직접합과 여사건 중 항 수가 적은 방법을 선택했는가?