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아산탕정신도시 고2수학과외

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학생 풀이 기록에서 드러난 첫 판단

한 학생은 이항분포 문제에서 먼저 직접합과 여사건을 비교했다. 시행횟수 \(n\)이 크고 물어본 사건이 ‘적어도 한 번 성공’이라면, 성공 횟수를 모두 더하기보다 실패만 일어나는 경우를 빼는 편이 간단하다고 판단했다. 이처럼 시행횟수를 먼저 확인하는 습관은 아산탕정신도시과외 수업에서도 계산 실수를 줄이는 출발점이 된다.

오답이 된 식

성공확률이 \(p\), 실패확률이 \(1-p\)인 독립 시행을 \(n\)번 할 때 \(X\)를 성공 횟수라 하자. 학생은

\[ P(X\ge 1)=P(X=1) \]

로 계산했다. 그러나 \(X\ge1\)에는 \(X=1,2,\ldots,n\)이 모두 포함된다. 따라서 한 번만 성공하는 경우와 한 번 이상 성공하는 경우를 구별해야 한다.

한 식으로 고치는 이항분포의 범위

적어도 한 번 성공하는 경우

사건 \(X\ge1\)의 여사건은 \(X=0\)이다. 그러므로

\[ P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n \]

이다. 이는 \(X=1\)만 계산한 값보다 크거나 같으며, \(n\ge2\)이고 \(0

수치로 비교하기

예를 들어 \(n=12,\ p=0.2\)이면

\[ P(X=1)=\binom{12}{1}(0.2)(0.8)^{11} \]

이고, 적어도 한 번 성공할 확률은

\[ P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(0.8)^{12} \]

이다. 두 식은 서로 다른 사건을 나타내므로 같은 값으로 둘 수 없다.

새 문제에서 여사건을 선택하는 기준

이번에는 \(X\sim B(n,p)\)일 때 \(P(X\ge3)\)을 구한다고 하자. 이 사건의 여사건은 \(X\le2\)이므로

\[ P(X\ge3)=1-P(X\le2) =1-\left\{P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right\} \]

로 바꾼다. 즉, \(P(X\ge r)\)은 다음처럼 정리할 수 있다.

\[ P(X\ge r)=1-P(X\le r-1) \]

다만 \(r=1\)일 때는 \(P(X\le0)=P(X=0)\) 하나만 계산하면 되므로 특히 간단하다. 반대로 \(P(X=1)\)처럼 정확히 한 번을 묻는 문제에는 여사건을 적용하지 않고 이항분포의 확률질량함수를 직접 사용한다.

최종 확인 질문

  • 시행횟수 \(n\)과 성공 횟수 \(X\)를 먼저 확인했는가?
  • ‘정확히 한 번’과 ‘적어도 한 번’을 구별했는가?
  • 여사건의 범위를 \(X=0\), \(X\le r-1\)처럼 정확히 썼는가?
  • 직접합과 여사건 중 항 수가 적은 방법을 선택했는가?

아산탕정신도시 고2수학과외 학부모 후기

교과서 복습을 하던 밤, 아이가 숫자부터 따라가지 않고 문제에 적힌 조건 문장을 먼저 짚어 보더라고요. 한 번 읽고 지나가는 게 아니라 다시 확인한 부분을 그대로 남겨 둔 채 풀이를 이어갔어요. 예전에는 답이 틀리면 어디서부터 잘못됐는지 살피기보다 처음 줄부터 전부 다시 풀곤 했거든요. 주말 늦은 오후에 지나가다 책상 쪽을 봤을 때도 비슷한 장면이 눈에 띄었어요. 문제를 다시 읽으면서 수치에는 바로 손대지 않고 조건이 적힌 문장에 먼저 표시하고 있었습니다. 아산탕정신도시 수학과외를 알아보던 중에도 이런 모습을 몇 번 본 터라, 숫자를 계산하기 전에 문제의 조건부터 확인하는 순서가 기억에 남더라고요. longe?

★★★★★학부모 후기

다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤, 아이가 긴 조건이 적힌 문제를 그냥 넘기지 않고 필요한 부분만 골라 식 옆에 짧게 적어두고 있더라고요. 확인해야 할 곳이 줄어드니 자료도 그 주변부터 추려서 정리했습니다. 시험 직전 마지막 주말에는 다음 일정을 챙기다가 책 사이에서 메모 한 장을 발견했어요. 문제 조건을 아이 말로 짧게 바꿔 적어 놓은 내용이었는데, 아산탕정신도시 수학과외를 알아보며 보던 때와 비교해도 이런 메모는 처음이었습니다. 예전에는 한 번 본 자료에서 필요한 부분만 다시 골라내는 모습을 거의 못 봤거든요. 긴 문장을 통째로 붙잡고 있기보다 실제로 필요한 조건만 식 가까이에 남겨 둔 흔적이 눈에 들어왔고, 이후 자료를 펼칠 때도 그 표시가 있는 부분부터 살피고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 중 다른 교재를 보던 오전, 아이가 기하 문제를 읽더니 원래 그림을 그대로 따라 그리지 않고 필요한 조건만 골라 새 그림을 만들더라고요. 그 옆에 조건을 옮겨 적고, 복잡한 원래 그림 대신 자신이 다시 그린 그림을 보면서 풀이를 이어 갔어요. 아산탕정신도시 수학과외 이야기를 나누며 책상 주변을 정리하다가 우연히 본 장면이었는데, 문제를 대하는 방식이 예전과 꽤 달라 보였습니다. 예전에는 문제집에 남은 흔적도 맞았는지 틀렸는지 표시한 게 대부분이었거든요. 그런데 학교에서 돌아와 책을 펼친 오후에는 풀이가 끝난 뒤에도 새로 그린 그림과 필요한 조건만 남아 있었습니다. 모든 내용을 옮겨 적은 게 아니라, 본인이 다시 볼 부분만 추려 놓은 모습이 눈에 띄었어요.,

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 숙제를 하던 중, 틀린 문제를 표시만 해두고 다시 보지 않는 습관을 선생님께 솔직히 이야기했습니다. 아산탕정신도시에서 수업을 받으며 선생님은 숙제량을 무리하지 않게 조절하고, 모르는 부분을 편하게 말할 수 있도록 대화를 이끌어 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 한 번 더 풀어보는 일이 자연스러워졌고, 수학을 대하는 부담도 조금 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기

아산탕정신도시에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 수업 일정에 맞춰 공부하는 모습이 조금씩 보였습니다. 시험 전에는 오답 공책을 펼쳐 놓고 부담스러워했지만, 선생님이 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절하고 할 일을 나눠 주셨습니다. 맞힌 문제도 다시 설명해 보게 하니 막히는 문제를 예전처럼 바로 피하지 않게 되었습니다.

★★★★☆학부모 후기

아이는 숙제를 시작해도 어려운 문제 하나에 오래 매달려 진도가 잘 나가지 않았는데, 선생님은 아산탕정신도시 수업에서도 문제 수를 무리하게 늘리기보다 이해한 만큼 풀게 하셨습니다. 설명을 들은 뒤 풀이를 지우지 않고 다시 살펴보며 스스로 시도하는 시간이 생겼고, 집중이 흐트러지면 활동을 바꿔 자연스럽게 이어 가도록 도와주셨습니다. 옆에서 지켜보니 수학을 시작할 때의 부담이 전보다 조금 줄어든 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기