아산탕정신도시 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾아낸 정수조건의 첫 어긋남

마지막 후보를 제거한 방식은 맞았지만, 그보다 앞선 첫 판단에서 이미 해의 범위를 잘못 잡고 있었다.

표보다 먼저 복원해야 했던 기준점

문제는 정수 k(0≤k≤10)에 대하여 곡선 y=(x-k)²-4와 영역 y≤0, 0≤x≤10을 함께 만족하는 정수 x의 개수를 묻는 형태였다. 표에는 여러 k의 값이 먼저 제시되고, 식은 뒤쪽에 배치되어 있었다.

학생은 표의 숫자를 본 뒤 곧바로 x²-4≤0을 세웠다. 즉, 오른쪽으로 이동한 포물선의 꼭짓점이 (k,-4)라는 사실을 확인하지 않고, 이동 전 기준식의 해를 그대로 사용한 것이다. 뒤의 부등식 계산 자체는 틀리지 않았지만 첫 식의 근거가 잘못되었으므로, k가 바뀔 때 정수 후보가 함께 이동한다는 점을 놓쳤다.

최초 오류: 계산을 시작하기 전에 수평이동된 식을 원래 기준식처럼 취급함.

학생은 오답의 맨 끝에서부터 올라가며 ‘후보 범위가 처음 달라진 줄’에 표시했다. 예를 들어 k=2이면

(x-2)²≤4이므로 0≤x≤4에서 정수 후보는 0, 1, 2, 3, 4로 5개이다. 반면 k=0이면 후보는 -2, -1, 0, 1, 2이지만 주어진 구간과 겹치는 0, 1, 2만 남아 3개가 된다. 학생이 처음 적은 ‘항상 5개’라는 결론은 계산 끝의 문제가 아니라 기준점 복원 전의 판단에서 생겼다.

한 줄을 고쳐 뒤의 후보를 다시 세다

교정은 풀이 전체를 새로 외우는 방식이 아니었다. 첫 식 옆에 꼭짓점의 좌표를 (k,-4)라고 적고, 곧바로

-2≤x-k≤2

로 바꾸었다. 그런 다음 정수 후보를 k-2, k-1, k, k+1, k+2로 적은 뒤, 마지막에만 0≤x≤10과 겹치는지를 확인했다. 경계에 걸리는 k=0, k=10은 따로 표시하여 구간 밖 후보를 자동으로 포함하지 않게 했다.

표와 식의 순서를 뒤집은 문제에서도 학생은 숫자를 먼저 세지 않고 꼭짓점을 복원했다. 보기 없는 직접답형에서는 답을 쓴 뒤 사용한 조건에 동그라미를 치고, 각 후보를 원래 부등식에 한 번씩 대입했다. 특히 제외한 정수 옆에 ‘구간 밖’ 또는 ‘부등식 불충족’이라고 이유를 남겨, 정답만 맞히고 근거를 잃는 일을 막았다.

조건의 위치를 바꾼 독립 적용

며칠 뒤에는 식을 그대로 바꾼 문제가 제시되었다.

y=(x-k)²-9, y<0, 0≤x≤8, k는 정수

이번에는 ≤가 아니라 <이므로

(x-k)²<9에서 -3<x-k<3, 즉 정수 후보가 k-2, k-1, k, k+1, k+2임을 먼저 설명해야 한다. 학생은 k=0일 때 후보를 -2부터 2까지 적은 뒤 구간과 겹치는 0, 1, 2만 남겼고, k=8일 때는 6, 7, 8만 남겼다. 숫자만 바뀐 문제가 아니라 부등호의 경계가 달라졌으므로, 등호를 포함할 수 없다는 점을 별도로 확인한 것이다.

또한 그래프의 교점 수를 묻는 변형에서는 교점을 바꾸는 조건만 상자에 넣고, 불필요한 표의 수치는 계산에서 제외했다. 제한 시간이 절반으로 줄어든 상황에서도 꼭짓점 복원, 경계 확인, 후보 대입이라는 세 단계는 생략하지 않았다.

다음 날, 힌트 없이 남은 판단

새 문제에서 그래프 일부와 표의 제시 순서가 가려졌지만 학생은 먼저 이동 전 기준점을 찾고, 매개변수 경계 전후의 정수 후보를 나누어 적었다. 이후 후보를 오름차순으로 배열하고 원래 조건에 재대입했다. 경계값 하나를 직접 넣었을 때 개수가 바뀌는 이유도 “꼭짓점이 허용 구간의 끝을 넘어 후보가 잘리기 때문”이라고 설명했다.

마지막으로 조건 하나를 삭제한 변형에서는 결론 전체를 유지하지 않고, 삭제된 조건이 후보의 범위에 어떤 역할을 했는지 역추적했다. 정답을 맞혔다는 확인보다 먼저 기준점과 경계를 찾아내는 행동이 새 문제에서도 스스로 나타났다는 점이 이 복기의 최종 검증이었다.