아산탕정신도시 중2수학과외

채점한 풀이를 뒤에서부터 읽어 찾은 최초의 오류

아산탕정신도시 생활권에는 극동늘푸른아파트와 두정역마을 등이 함께 언급되지만, 이번 수업의 초점은 생활권 정보가 아니라 삼각형의 외심과 수직이등분선 관계였다. 천안불당중학교가 포함된 생활권의 학생이 가져온 오답을 채점한 뒤, 풀이를 처음부터 다시 쓰지 않고 마지막 줄에서 거꾸로 읽어 보았다.

문제의 그림에는 삼각형 ABC와 점 O가 있었고, O는 변 AB와 AC의 수직이등분선 위에 표시되어 있었다. 학생은 다음처럼 적었다.

“O는 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OB이다. 또 AC의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OC이다. 따라서 OB=OC이고, O는 BC의 수직이등분선 위에 있다.”

겉으로 보면 결론은 맞았다. 그러나 채점 중 학생은 그림 옆에 작은 사각형을 그리고 “마주 보는 변이 같으므로 평행사변형”이라고 적은 뒤, 그 성질로 선분의 길이를 연결하고 있었다. 마지막 계산보다 앞선 이 한 줄이 풀이의 갈림점이었다.

그림에 없는 조건을 먼저 지운 장면

학생은 풀이의 각 문장에 표시를 붙였다. 문제에서 실제로 주어진 것은 O가 AB와 AC의 수직이등분선 위에 있다는 사실뿐이었다. 평행선 표시도, 네 변으로 이루어진 사각형이라는 조건도 없었다. 그런데 학생은 사각형처럼 보이는 모양만 보고 평행사변형의 성질을 거꾸로 적용했다.

교정은 그 한 줄에만 집중했다. “평행사변형이라고 결론 내리려면 평행하다는 조건이나 그에 준하는 조건이 먼저 있어야 한다. 그림의 모양은 조건이 아니다.” 학생은 해당 문장을 지우고, 각 수직이등분선의 정의를 바로 옆에 다시 적었다.

AB의 수직이등분선 위의 점 O이므로 OA=OB
AC의 수직이등분선 위의 점 O이므로 OA=OC
같은 OA와 각각 같은 두 선분이므로 OB=OC

그 뒤에야 “OB=OC인 점은 B와 C에서 같은 거리에 있으므로 BC의 수직이등분선 위에 있다”고 연결했다. 이미 맞았던 두 길이 비교는 그대로 두고, 조건 없이 평행사변형을 사용한 부분만 제거한 것이다.

식이 아닌 표시와 문장으로 바꾼 적용

같은 수업에서 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 그림에 세 점 P, Q, R과 점 X가 있고, 선분 PQ와 PR에는 각각 X를 지나며 직각으로 만나는 선이 그려져 있었다. 선분의 중점 표시도 두 곳에 따로 붙어 있었다. 질문은 “X가 세 변의 수직이등분선의 교점인지 판단하고, QR에 대해 어떤 관계가 성립하는지 설명하라”였다.

학생은 먼저 그림의 표시만 문장으로 옮겼다. “X에서 PQ에 내린 선은 PQ를 이등분하고, X에서 PR에 내린 선은 PR을 이등분한다.” 이어서 XP=XQ, XP=XR이라고 적고, 두 식에서 공통인 XP를 지워 XQ=XR을 얻었다. 이번에는 사각형을 만들거나 평행 여부를 추측하지 않았다. X가 Q와 R에서 같은 거리에 있다는 문장으로 바꾼 다음, X가 QR의 수직이등분선 위에 놓인다고 설명했다.

질문 방향도 바꾸어 “QR의 수직이등분선 위에 있는 점이라면 어떤 두 선분의 길이가 같은가?”라고 물었다. 학생은 “그 점에서 Q와 R까지의 거리가 같다”고 답했다. 그림에서 결론을 읽는 것과 결론에서 길이 관계를 되짚는 것을 모두 표시된 조건 안에서 처리했다.

힌트 없이 확인한 새 풀이

수업 끝에는 중간 풀이를 가린 새 그림을 제시했다. 삼각형 DEF에서 점 Y가 DE의 수직이등분선 위에 있고, DF의 수직이등분선 위에도 있다는 조건만 주었다. 학생은 곧바로 “첫 판단은 수직이등분선의 정의를 적용하는 것”이라고 말하며 YD=YE, YD=YF를 적었다.

이어 YE=YF를 만들고, “Y는 E와 F에서 같은 거리에 있으므로 EF의 수직이등분선 위에 있다”고 설명했다. 검산할 때는 그림의 사각형 모양이나 평행선처럼 보이는 부분을 근거로 삼지 않고, 자신이 적은 두 등식이 각각 어느 수직이등분선 조건에서 나왔는지 손가락으로 확인했다.

“주어진 표시가 수직이고 중점을 지난다는 것에서만 같은 거리를 얻었습니다. 평행사변형이라는 조건이 없으므로 그 성질은 사용하지 않았고, 마지막 결론도 YE=YF에서 직접 확인했습니다.”

이처럼 아산탕정신도시중2수학과외 수업에서 확인한 핵심은 많은 풀이를 새로 외우는 것이 아니었다. 그림의 모양보다 실제 조건을 먼저 읽고, 외심과 수직이등분선의 관계를 같은 거리로 바꾸어 쓰는 첫 판단을 스스로 재현하는 데 있었다.

아산탕정신도시 중2수학과외 학부모 후기

프린트를 챙기려던 저녁, 아이가 문제를 다 풀고도 바로 답을 옮기지 않아서 옆에서 잠깐 보게 됐어요. 숫자 계산이 맞는지만 보는 줄 알았는데, 문제에서 정한 단위와 답의 범위를 먼저 살피고 있더라고요. 아산탕정신도시 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 눈에 들어왔습니다. 예전에는 다시 확인할 부분이 생겨도 그날에는 그냥 넘어가거나 따로 정리하지 않았거든요. 그런데 이번에는 답을 적은 뒤 조건이 빠졌는지 한 번 더 짚어 보고, 확인한 곳과 아직 살펴야 할 곳을 구분해서 표시했어요. 수학 발표를 준비하는 날에도 같은 식으로 답 뒤의 범위와 조건을 확인하더라고요. 표시만 해 둔 게 아니라 무엇을 확인했는지와 남은 부분이 헷갈리지 않게 나눠 두어서, 문제 옆에 남은 흔적이 꽤 분명하게 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

시험 직전 마지막 주말, 아이가 맞힌 문제를 그냥 넘기지 않고 다시 펼쳐 보더라고요. 답은 맞았는데 풀이가 조금 길다며 다른 방식으로 줄일 수 있는지 한 줄씩 비교하고 있었습니다. 예예전에는 한 번 본 자료에서 필요한 부분만 찾아보고, 이미 푼 문제는 다시 들여다보지 않았거든요. 아산탕정신도시 수학과외 이야기를 나누던 중에도 책상 위 문제집을 보니, 맞힌 문제 옆에 다른 풀이가 있는지 따로 확인한 흔적이 보이더라고요. 단순히 답이 맞았는지만 보는 모습과는 달랐습니다. 다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤에는 여러 자료를 펼쳐 놓고 풀이가 겹치는 부분과 다시 확인할 곳을 좁혀 가더라고요. 맞힌 문제까지 비교한 뒤 필요한 자료만 한쪽에 모아 두는 모습이 꽤 구체적으로 보였어요.

★★★★★학부모 후기

오답 파일을 정리하던 토요일, 아이 책상 위에 서술형 답안을 지운 흔적이 있더라고요. 답만 고쳐 쓴 게 아니라 중간에 적혀 있던 식부터 다시 이어 보려고 한 모양이었어요. 예전에는 틀린 문제를 다시 볼 때도 처음 풀었던 순서대로 훑는 편이라 이런 흔적은 거의 없었거든요. 아산탕정신도시 수학과외 이야기를 나누던 중에도 저는 그 장면이 계속 기억에 남더라고요. 서술형 답안 전체를 처음부터 베껴 쓰지 않고, 틀린 부분으로 보이는 중간식부터 손을 댄 점이 달라 보이더라고요. 이후 새로운 문법 문제를 풀고 난 자리에서도 비슷하게 답안 전체를 건드리지 않고 잘못된 중간식부터 다시 적었습니다. 그다음에는 다시 확인할 곳을 한 군데 정해 두고 나머지 부분은 정리해 두었어요. 어디를 봐야 할지 표시가 남은 게 아니라, 실제 풀이에서 먼저 손댄 지점이 분명해진 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

아이와 수학 이야기를 나누다 보면 아산탕정신도시 과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 다시 보는 것조차 피했다는 말이 나옵니다. 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하며 부담 없이 생각을 이어가도록 도왔고, 시험이 끝난 뒤에는 아이가 틀린 이유부터 먼저 말하려는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

아산탕정신도시에서 과외를 시작할 때만 해도 아이는 설명을 들으면 알겠다고 하면서도 혼자 문제를 풀다 막히면 금방 손을 놓곤 했습니다. 수행평가와 시험 준비가 겹친 주간에도 선생님은 틀린 문제를 피하지 않고 다시 살펴보게 했고, 수업 끝에는 그날 복습할 내용을 몇 가지로 줄여 부담 없이 정리해주셨습니다. 요즘은 한 문제에 막혀도 수학 공부 전체를 포기하지 않고 끝까지 해보려는 모습이 보여 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전, 아산탕정신도시 집에서 수학 숙제를 시작하려는데 계획대로 되지 않아 한 문제를 붙잡고 오래 고민하는 아이를 보며 걱정했습니다. 선생님은 실수해도 괜찮은 분위기에서 아이의 반응을 살피며 같은 내용을 다른 말로 설명하고, 시험 일주일 전에는 복습과 숙제량도 조절해 주셨습니다. 몇 번 수업 후에는 모르는 것을 다시 물어보고 숙제를 시작하는 시간도 조금씩 짧아졌습니다.

★★★★★학부모 후기