아산탕정신도시 중2수학과외

채점한 풀이를 뒤에서부터 읽어 찾은 최초의 오류

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문제의 그림에는 삼각형 ABC와 점 O가 있었고, O는 변 AB와 AC의 수직이등분선 위에 표시되어 있었다. 학생은 다음처럼 적었다.

“O는 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OB이다. 또 AC의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OC이다. 따라서 OB=OC이고, O는 BC의 수직이등분선 위에 있다.”

겉으로 보면 결론은 맞았다. 그러나 채점 중 학생은 그림 옆에 작은 사각형을 그리고 “마주 보는 변이 같으므로 평행사변형”이라고 적은 뒤, 그 성질로 선분의 길이를 연결하고 있었다. 마지막 계산보다 앞선 이 한 줄이 풀이의 갈림점이었다.

그림에 없는 조건을 먼저 지운 장면

학생은 풀이의 각 문장에 표시를 붙였다. 문제에서 실제로 주어진 것은 O가 AB와 AC의 수직이등분선 위에 있다는 사실뿐이었다. 평행선 표시도, 네 변으로 이루어진 사각형이라는 조건도 없었다. 그런데 학생은 사각형처럼 보이는 모양만 보고 평행사변형의 성질을 거꾸로 적용했다.

교정은 그 한 줄에만 집중했다. “평행사변형이라고 결론 내리려면 평행하다는 조건이나 그에 준하는 조건이 먼저 있어야 한다. 그림의 모양은 조건이 아니다.” 학생은 해당 문장을 지우고, 각 수직이등분선의 정의를 바로 옆에 다시 적었다.

• AB의 수직이등분선 위의 점 O이므로 OA=OB
• AC의 수직이등분선 위의 점 O이므로 OA=OC
• 같은 OA와 각각 같은 두 선분이므로 OB=OC

그 뒤에야 “OB=OC인 점은 B와 C에서 같은 거리에 있으므로 BC의 수직이등분선 위에 있다”고 연결했다. 이미 맞았던 두 길이 비교는 그대로 두고, 조건 없이 평행사변형을 사용한 부분만 제거한 것이다.

식이 아닌 표시와 문장으로 바꾼 적용

같은 수업에서 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 그림에 세 점 P, Q, R과 점 X가 있고, 선분 PQ와 PR에는 각각 X를 지나며 직각으로 만나는 선이 그려져 있었다. 선분의 중점 표시도 두 곳에 따로 붙어 있었다. 질문은 “X가 세 변의 수직이등분선의 교점인지 판단하고, QR에 대해 어떤 관계가 성립하는지 설명하라”였다.

학생은 먼저 그림의 표시만 문장으로 옮겼다. “X에서 PQ에 내린 선은 PQ를 이등분하고, X에서 PR에 내린 선은 PR을 이등분한다.” 이어서 XP=XQ, XP=XR이라고 적고, 두 식에서 공통인 XP를 지워 XQ=XR을 얻었다. 이번에는 사각형을 만들거나 평행 여부를 추측하지 않았다. X가 Q와 R에서 같은 거리에 있다는 문장으로 바꾼 다음, X가 QR의 수직이등분선 위에 놓인다고 설명했다.

질문 방향도 바꾸어 “QR의 수직이등분선 위에 있는 점이라면 어떤 두 선분의 길이가 같은가?”라고 물었다. 학생은 “그 점에서 Q와 R까지의 거리가 같다”고 답했다. 그림에서 결론을 읽는 것과 결론에서 길이 관계를 되짚는 것을 모두 표시된 조건 안에서 처리했다.

힌트 없이 확인한 새 풀이

수업 끝에는 중간 풀이를 가린 새 그림을 제시했다. 삼각형 DEF에서 점 Y가 DE의 수직이등분선 위에 있고, DF의 수직이등분선 위에도 있다는 조건만 주었다. 학생은 곧바로 “첫 판단은 수직이등분선의 정의를 적용하는 것”이라고 말하며 YD=YE, YD=YF를 적었다.

이어 YE=YF를 만들고, “Y는 E와 F에서 같은 거리에 있으므로 EF의 수직이등분선 위에 있다”고 설명했다. 검산할 때는 그림의 사각형 모양이나 평행선처럼 보이는 부분을 근거로 삼지 않고, 자신이 적은 두 등식이 각각 어느 수직이등분선 조건에서 나왔는지 손가락으로 확인했다.

“주어진 표시가 수직이고 중점을 지난다는 것에서만 같은 거리를 얻었습니다. 평행사변형이라는 조건이 없으므로 그 성질은 사용하지 않았고, 마지막 결론도 YE=YF에서 직접 확인했습니다.”

그림의 모양보다 실제 조건을 먼저 읽고, 외심과 수직이등분선의 관계를 같은 거리로 바꾸어 쓰는 첫 판단을 스스로 재현하는 데 있었다.