아산탕정신도시 중1수학과외

대응관계를 다시 세운 SAS 합동 풀이

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한 줄의 표시에서 시작된 오류

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF에서 AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF가 주어져 있었다. 학생은 그림을 보자마자 두 삼각형이 닮아 보인다는 이유로 공책에 다음처럼 적었다.

AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E이므로 △ABC와 △DFE는 SAS 합동이다.

조건에 사용된 변과 각 자체는 제대로 찾았지만, 대응 순서를 △ABC와 △DFE로 적은 순간 풀이가 어긋났다. ∠B에 대응하는 각은 ∠E인데, 두 번째 삼각형을 D-F-E 순서로 쓰면 가운데 꼭짓점이 F가 된다. 즉, 계산을 잘못한 것이 아니라 대응점의 순서를 확인하기 전에 합동 기호를 먼저 정한 것이 최초 판단이었다.

조건을 가운데 꼭짓점부터 다시 연결하기

학생은 지우개로 합동 기호만 지우고, 주어진 조건을 세 줄로 나누어 다시 적었다.

• AB와 DE가 서로 대응한다.
• ∠B와 ∠E가 서로 대응한다.
• BC와 EF가 서로 대응한다.

그다음 각의 꼭짓점 B와 E를 먼저 맞추고, 그 양옆의 변을 따라 대응점을 연결했다. B에 붙은 AB의 끝점 A는 E에 붙은 DE의 끝점 D와 대응하고, B에 붙은 BC의 끝점 C는 E에 붙은 EF의 끝점 F와 대응했다. 따라서 A↔D, B↔E, C↔F가 되었고, 올바른 표현은 △ABC≡△DEF였다.

이때 학생은 SAS라는 이름만 적지 않고, “두 변과 그 두 변 사이의 각이 각각 같다”라고 옆에 덧붙였다. 주어진 AB와 BC가 ∠B를 사이에 두고 있고, DE와 EF가 ∠E를 사이에 두고 있으므로 불필요한 변이나 각을 더 찾을 필요도 없었다.

그림을 돌려도 대응관계는 유지되는가

다음 문제에서는 두 번째 삼각형이 종이에 거꾸로 놓여 있었다. 조건은 선분 PQ=선분 YX, ∠Q=∠X, 선분 QR=선분 XZ였고, 질문은 “△PQR과 합동인 삼각형을 기호로 나타내라”였다. 학생은 그림의 방향을 기준으로 P와 Z를 대응시키려다가 멈추고, 이번에는 그림을 회전한 뒤 조건의 순서를 표로 바꾸었다.

• 첫 번째 변의 끝점: P-Q
• 사이에 있는 각: Q
• 두 번째 변의 끝점: Q-R
• 대응하는 순서: Y-X-Z

표에서 가운데 각이 Q와 X로 맞물리므로 Q↔X를 먼저 정했다. 그러자 P↔Y, R↔Z가 자연스럽게 정해졌다. 질문의 방향이 “두 번째 삼각형의 이름을 쓰라”로 바뀌어도 답은 △YXZ라고 적어야 했다. 단순히 모양을 보고 △ZXY라고 쓰면 세 꼭짓점의 대응 순서가 달라져 SAS 조건을 그대로 나타낼 수 없었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

수업 끝부분에는 앞서 쓴 풀이를 가린 채, 새로운 도형에서 주어진 두 변과 그 사이의 각을 표시하게 했다. 학생은 먼저 각의 꼭짓점에 동그라미를 치고, 그 각에 붙은 두 변만 골랐다. 이어 대응하는 각의 꼭짓점을 같은 색으로 표시한 뒤 변의 양 끝점을 순서대로 연결했다.

학생은 “SAS에서는 변 두 개가 같다는 사실만으로 충분하지 않고, 그 두 변 사이의 각이 대응해야 한다. 그래서 가운데 꼭짓점을 먼저 맞춘 다음 삼각형의 이름을 써야 한다”라고 설명했다. 마지막으로 자신이 만든 합동식을 조건에 다시 대입해 AB↔DE, ∠B↔∠E, BC↔EF가 모두 같은 순서인지 확인했다. 세 대응이 일치하자 불필요한 후보를 지우고 풀이를 마쳤다.

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