부산 중3수학과외
부산 중3수학과외, 전개식의 첫 어긋남을 찾아낸 풀이
부산과외 수업에서 학교 프린트의 다항식 전개 문제를 살펴보던 중, 한 학생의 풀이가 눈에 들어왔습니다. 부산중3수학과외에서는 정답만 확인하지 않고, 답이 틀어지기 시작한 최초의 식을 찾아 고치는 데 초점을 맞췄습니다. LG메트로시티아파트와 오륙도SK VIEW가 있는 생활권, 또는 부산광역시립서동도서관 인근에서 공부하는 학생도 자주 만나는 유형입니다. 이번 내용은 여러 단원으로 넓히지 않고 (a+b)(a-b)의 전개 구조 하나만 다룹니다.
답에서 거꾸로 확인한 첫 번째 흔들림
프린트의 문제는 다음과 같았습니다.
(3x+5)(3x-5)를 전개하여 간단히 하시오.
학생은 완성된 풀이를 먼저 읽은 뒤 자신의 기록과 비교했습니다.
(3x+5)(3x-5)
= 3x×3x + 5×(-5)
= 9x²-25
최종 결과는 맞았지만, 풀이를 확인하는 과정에서 중요한 부분이 빠져 있었습니다. 실제로 두 괄호의 모든 항을 곱하려면 3x는 두 번째 괄호의 3x와 -5에 각각 곱해지고, 5도 두 항에 각각 곱해져야 합니다. 그런데 학생은 처음부터 3x×(-5), 5×3x를 적지 않았습니다.
따라서 이 장면에서 가장 먼저 어긋난 판단은 마지막 계산이 아니라, 두 항씩 모두 곱해야 한다는 전개 구조를 확인하지 않고 바로 9x²-25라고 쓴 것입니다. 우연히 가운데 항이 서로 없어지는 형태라 답은 맞았지만, 같은 방식으로 다른 식을 풀면 오류를 발견하기 어렵습니다.
계산을 되돌리지 않고, 곱의 짝만 복원하기
교정은 전체 풀이를 새로 외우는 방식이 아니었습니다. 첫 식에서 빠진 곱을 눈에 보이게 적는 행동 하나만 바꾸었습니다.
(3x+5)(3x-5)
= 3x×3x + 3x×(-5) + 5×3x + 5×(-5)
= 9x²-15x+15x-25
= 9x²-25
이렇게 쓰면 네 개의 곱이 모두 나타납니다. 가운데 항인 -15x와 15x는 서로 없어지고, 처음에 계산했던 9x²와 -25는 그대로 유지됩니다. 핵심은 복잡한 계산법을 추가하는 것이 아니라, 첫 번째 괄호의 각 항이 두 번째 괄호의 두 항과 한 번씩 곱해졌는지 확인하는 것입니다.
- 3x×3x = 9x²
- 3x×(-5) = -15x
- 5×3x = 15x
- 5×(-5) = -25
부호도 곱셈 항목 안에서 함께 확인했습니다. 특히 3x×(-5)의 음수와 5×(-5)의 음수를 빠뜨리지 않아야 합니다. 이 과정은 동류항을 새로 배우는 시간이 아니라, 이미 나타난 네 항을 빠짐없이 기록하는 전개 확인입니다.
모양을 바꾼 독립 문제에서 다시 찾기
다음 시간에는 숫자만 바꾼 식 대신, 괄호의 순서와 문자의 모양을 바꾼 문제를 제시했습니다.
(p-q)(p+q)를 전개하여 간단히 하시오.
이번에는 중간 풀이를 가린 상태에서 학생이 직접 다음처럼 적었습니다.
(p-q)(p+q)
= p×p + p×q + (-q)×p + (-q)×q
= p²+pq-pq-q²
= p²-q²
앞의 문제와 괄호의 순서가 달라졌지만, 학생은 두 괄호의 항을 각각 연결했습니다. p×q와 (-q)×p가 서로 반대 부호인 것도 식을 모두 쓴 뒤에 확인했습니다. 처음부터 가운데 항이 사라진다고 기억해 적은 것이 아니라, 네 곱을 만든 다음 결과를 정리한 점이 달라졌습니다.
힌트 없이 진행한 마지막 확인
마지막에는 새 식을 주고 어떤 항을 먼저 점검할지 설명하게 했습니다.
(2t-7)(2t+7)의 전개식을 구하고, t=3을 대입하여 원래 식과 비교하시오.
학생은 도움 없이 다음과 같이 풀이했습니다.
(2t-7)(2t+7)
= 2t×2t + 2t×7 + (-7)×2t + (-7)×7
= 4t²+14t-14t-49
= 4t²-49
그 뒤 전개 전 식에 t=3을 대입하여
(6-7)(6+7)=(-1)×13=-13
으로 계산하고, 전개한 식에도 대입했습니다.
4×3²-49=36-49=-13
두 결과가 같다는 검산 근거를 제시한 뒤 학생은 “네 곱을 먼저 적었기 때문에 빠진 항이 없고, 전개 전후의 값도 같으므로 이 전개는 맞다”고 설명했습니다. 숫자나 식의 모양이 달라져도 같은 전개 구조를 스스로 선택하고 확인한 장면입니다.