부산 중2수학과외

부호 하나를 거꾸로 읽어 찾은 단항식 계산의 시작점

부산의 LG메트로시티아파트와 부산광역시립서동도서관이 있는 생활권에서 진행한 부산과외 수업 중, 학생은 단항식의 곱셈 문제를 풀고 채점 결과를 받아 들었다. 문제는 다음과 같았다.

−3a × 2b × (−4a)를 계산하여라.

학생의 답은 −24a²b였다. 계산 과정을 다시 보니 숫자 3×2×4와 문자 a×b×a는 정확히 처리되어 있었다. 따라서 결과만 보고 전체를 다시 풀기보다, 완성된 풀이를 마지막 줄부터 한 줄씩 거꾸로 읽기로 했다.

답에서 첫 번째 어긋남까지 되짚기

학생은 풀이에 다음과 같이 적었다.

−3a × 2b × (−4a)
= −6ab × (−4a)
= −24a²b

두 번째 줄에서 −6ab와 −4a를 곱하면 계수의 부호는 음수와 음수의 곱이므로 양수가 되어야 한다. 그런데 학생은 계수 6×4를 계산하면서 첫 번째 음수만 남겨 두었다. 여기서 멈추지 않고 그보다 앞선 줄을 확인하자, 더 이른 판단이 보였다. 괄호 안의 −4a를 곱할 때 괄호 앞에 별도의 음수 부호가 있는 것처럼 일부 항에만 부호를 적용한 것이다.

즉, 최초의 오류는 24를 계산한 결과가 아니라 곱셈에 참여하는 음수의 개수를 세지 않은 판단이었다. −3과 −4, 두 개의 음수가 있다는 사실을 처음부터 표시하지 않아 뒤의 부호가 흔들렸다.

처음 어긋난 줄만 고쳐 다시 연결하기

이미 맞게 처리한 문자와 수의 곱은 그대로 두었다. 학생은 각 계수 옆에 부호를 동그라미로 표시하고, 단항식 전체를 한 번에 곱하지 않고 계수와 문자를 나누어 적었다.

계수: (−3)×2×(−4)
문자: a×b×a
부호: 음수 2개 → 양수
계수: 3×2×4=24
문자: a²b
따라서 24a²b

여기서 중요한 교정은 풀이 전체를 새로 외우는 것이 아니었다. 괄호 속 단항식도 계수 전체와 문자를 함께 곱하는 한 덩어리로 보고, 계산 전에 음수의 개수를 먼저 세는 한 가지 판단만 바꾸었다. 학생은 수정한 줄을 원래 식에 다시 연결한 뒤, 양의 부호가 맞는지 확인했다.

표현을 바꾼 문제에서 시작 위치 찾기

곧바로 숫자만 바꾼 문제를 주지 않고, 식을 표로 바꾸어 제시했다. 표의 각 칸에는 곱해지는 단항식이 들어 있었다.

• 첫 번째 칸: 5x
• 두 번째 칸: −2y
• 세 번째 칸: −3x

질문은 “세 단항식을 곱한 결과의 부호와 문자를 쓰시오”였다. 중간 풀이를 가린 상태에서 학생은 답부터 적지 않고, 각 칸의 계수 앞에 +, −를 표시했다. 음수 표시가 두 개이므로 결과의 부호는 양수라고 말한 뒤, x×y×x를 x²y로 정리했다. 이어서 “만약 마지막 칸이 −3x가 아니라 +3x라면 음수는 한 개이므로 결과 부호가 음수가 된다”고 조건이 바뀐 경우까지 설명했다. 식의 모양이 달라져도 먼저 부호 수를 세는 판단은 그대로 재현되었다.

힌트 없이 확인한 최종 풀이

수업 끝에는 다음 문제만 남겼다.

(−2m) × (−5n) × 3m × (−n)를 계산하여라.

학생은 도움을 기다리지 않고 첫 줄 아래에 음수 세 개를 표시했다. “음수가 홀수 개이므로 결과는 음수입니다”라고 먼저 적은 다음, 계수는 2×5×3=30, 문자는 m×n×m×n=m²n²로 분리했다. 최종 답은 −30m²n²였다.

학생은 검산할 때도 결과의 숫자만 보지 않았다. “계수의 절댓값은 2, 5, 3의 곱인 30이고, 음수는 세 개라서 −가 남는다. m과 n이 각각 두 번씩 나와 제곱이 된다”고 풀이 근거를 직접 말했다. 부산중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 새 식을 보자마자 음수의 개수를 먼저 세고 그 판단을 계산 끝까지 유지한 점이었다.