부산 고등수학과외
부산 고등수학과외에서는 합성함수 문제를 계산 속도보다 입력값의 이동 경로를 읽는 훈련으로 다룬다. 부산외국어고등학교와 부산국제고등학교를 준비하는 학생들도 식을 보자마자 전개하기보다, 먼저 어떤 함수가 입력을 받고 그 결과가 어디로 들어가는지 표시해야 풀이의 첫 오류를 줄일 수 있다. LG메트로시티아파트 인근이나 오륙도SK VIEW 생활권에서 학습하는 학생과 함께할 때도 이 과정을 종이에 짧게 남기도록 지도한다.
f(g(x))에서 멈춰야 하는 지점
합성함수 f(g(x))는 f와 g를 동시에 계산하는 표현이 아니다. x가 먼저 g의 입력이 되고, g(x)라는 결과가 다시 f의 입력이 된다. 따라서 이동 경로는 x → g(x) → f(g(x))이다. 이 순서를 확인한 뒤에야 주어진 함수의 식을 대입할 수 있다.
예를 들어 f(x)=x²-14x+7이라고 하자. 학생에게 g(x)를 먼저 계산한 뒤 그 값을 f의 괄호 안에 넣어 보라고 하면, 처음에는 “f가 앞에 있으니 f부터 처리한다”고 말하는 경우가 있다. 이어서 f(x)를 먼저 정리한 다음 g를 붙이려 하거나, f(g(x))를 f(x)g(x)처럼 곱셈으로 읽기도 한다. 이때 답이 틀어지는 순간은 전개 과정이 아니라, 입력값의 첫 이동 방향을 잘못 정하는 바로 그 지점이다.
첫 오답을 눈으로 확인하기
학생은 보통 f(x)=x²-14x+7을 보고 이를 완성하거나 인수분해하려고 한다. 그러나 이 식은 일반적으로 인수분해되는 꼴이 아니며, 지금 묻는 것도 f 자체의 해가 아니다. 문제의 초점은 f에 무엇을 넣는가에 있다. g(x)를 임시 입력 t로 바꾸면 f(t)=t²-14t+7이고, 여기에 t=g(x)를 넣어야 한다. 따라서
f(g(x))=(g(x))²-14g(x)+7
이 식을 먼저 적으면 적용 순서가 드러난다. 학생이 자주 남기는 오답은 x²-14x+7 뒤에 g를 붙이는 방식이다. 이는 f의 입력이 여전히 x로 남아 있어, g(x)를 대입했다는 증거가 없다.
중간결론 메모로 순서를 고정하기
교정할 때는 긴 설명을 반복하지 않고 두 줄짜리 메모를 사용한다.
- 1단계: x를 g에 넣어 g(x)를 만든다.
- 2단계: 1단계의 결과 전체를 f의 입력으로 넣는다.
그다음 f의 원래 식에서 x가 있던 모든 자리를 네모로 표시하고, 그 네모에 g(x)를 통째로 넣는다. 그러면 x²은 (g(x))²가 되고, -14x는 -14g(x)가 된다. 괄호를 생략하지 않는 것도 훈련의 일부다. 특히 g(x)가 음수나 분수식일 때 괄호를 빼면 제곱과 곱셈의 부호가 달라질 수 있기 때문이다.
두 접근을 비교할 때는 “f의 식을 먼저 읽는 것”과 “f에 들어갈 값을 먼저 만드는 것”을 구분하게 한다. 식을 읽는 순서는 앞에서부터일 수 있지만, 합성함수의 입력 적용 순서는 안쪽에서 바깥쪽으로 진행된다. 이 차이를 중간결론으로 직접 적은 뒤에야 다음 계산으로 넘어간다.
조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 판단하기
교정 직후 같은 식을 반복시키지 않고, 예를 들어 f(x)=x²-14x+7, g(x)=3-x인 문제로 바꾼다. 학생은 먼저 g(x)=3-x를 적고, 이를 f에 넣어
f(g(x))=(3-x)²-14(3-x)+7
로 세운다. 여기서 곧바로 전개하지 않고, “안쪽 함수의 결과가 바깥 함수의 입력이 되었다”는 한 문장을 덧붙이게 한다. 보기에서 f(g(x))와 g(f(x))가 함께 제시되면 식을 계산하기 전 화살표만 그려 어느 쪽이 먼저 움직이는지 판별하게 한다. 숫자나 함수식이 바뀌어도 순서를 설명할 수 있는지 확인하는 단계다.
마지막에는 원래 표현으로 되돌려 확인하기
새 문제를 푼 뒤에는 단순히 전개 결과를 맞혔는지만 보지 않는다. 얻은 식에 다시 t=g(x)를 대입해 f(t)=t²-14t+7에서 출발한 표현과 같은지 비교한다. 예를 들어 (3-x)²-14(3-x)+7을 전개했다면, 다시 t=3-x를 넣었을 때 동일한 항이 나오는지 확인한다. 이 역대입은 계산 실수와 적용 순서 오류를 구별하게 해 준다.
또한 g(f(x))를 별도로 적어 두 식이 보통 같지 않다는 점도 확인한다. f(g(x))는 g가 먼저이고 g(f(x))는 f가 먼저이므로, 두 합성의 순서는 바뀌지 않는다. 특정 값 하나를 넣어 우연히 같은 결과가 나오는지 보는 것만으로 두 함수가 같다고 결론 내리지 않도록, 식의 입력 경로를 최종 기준으로 삼는다.
자주 묻는 내용
f(g(x))에서 왜 g부터 계산하나요?
g(x)가 f의 입력으로 들어가기 때문이다. 안쪽 괄호의 결과가 먼저 만들어진다.
f(x)=x²-14x+7을 먼저 인수분해하면 안 되나요?
합성함수의 적용 순서를 묻는 상황에서는 불필요하다. 이 식은 f의 규칙을 나타내므로, 먼저 입력값을 정한 뒤 대입해야 한다.
g(f(x))도 같은 식이 되나요?
일반적으로 그렇지 않다. 두 표현은 적용 순서와 입력 경로가 다르므로 각각 따로 계산해야 한다.
전개 전에 꼭 중간 메모를 써야 하나요?
처음에는 쓰는 편이 좋다. 순서를 말로 남기면 괄호를 빠뜨리거나 x를 그대로 두는 오류를 찾기 쉽다.
최종 답은 어떻게 검산하나요?
전개한 결과를 다시 원래 형태의 f에 g(x)를 넣은 식과 비교하고, 필요하면 g(f(x))와 구별되는지도 확인한다.