수안동 중등수학과외

수안동중등수학과외, 동전과 회전판의 18가지 경우를 확률까지 확인하는 방법

동전 1개와 1부터 9까지의 숫자가 같은 확률로 나오는 회전판을 각각 한 번 시행하는 문제를 생각해 보겠습니다. 동전은 앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오고, 회전판의 각 숫자도 같은 확률로 나오며, 두 시행은 서로 독립입니다. 이때 전체 경우의 수를 묻는 기본 문제의 답은 18가지입니다. 다만 18이라는 수만 얻었다고 해서 모든 문제에서 각 결과의 확률이 같다고 바로 단정할 수는 없습니다. 수안동중등수학과외에서는 전체 경우를 세는 과정과 각 결과가 같은 가능성을 가지는 조건을 함께 확인해, 경우의 수와 확률을 섞어 판단하는 오류를 고칩니다.

순서쌍으로 적으면 2×9가 되는 이유가 보입니다

먼저 동전 결과를 앞면, 뒷면의 2가지로 쓰고, 각 결과 뒤에 회전판 숫자 1부터 9까지를 연결합니다. 앞면일 때는 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (앞면, 9)의 9가지이고, 뒷면일 때도 (뒷면, 1), (뒷면, 2), …, (뒷면, 9)의 9가지입니다. 따라서 전체 경우는 9+9=18가지, 또는 2×9=18가지입니다. 나무그림의 첫 갈래를 동전 두 면으로, 다음 갈래를 숫자 1부터 9까지로 표시하면 어느 숫자나 앞면과도, 뒷면과도 각각 한 번씩 짝지어진다는 관계가 드러납니다. 같은 조합을 두 번 적지 않았는지 체크표로 확인하고, 빠진 순서쌍이 없는지도 살핍니다.

‘18가지’와 ‘각 경우의 확률 1/18’을 구분합니다

전체 경우가 18가지라는 사실만으로 각 경우의 확률이 자동으로 같아지는 것은 아닙니다. 이 문제에서는 동전의 앞면과 뒷면이 각각 1/2이고, 회전판의 1부터 9까지가 각각 1/9이라는 조건이 주어졌습니다. 또 한 시행의 결과가 다른 시행에 영향을 주지 않는 독립 시행입니다. 그래서 예를 들어 (앞면, 1)의 확률은 1/2×1/9=1/18이고, (뒷면, 7)의 확률도 1/2×1/9=1/18입니다. 각 순서쌍이 같은 확률을 갖는 근거는 ‘18개로 나열되었다’가 아니라, 두 도구의 각 결과가 같은 확률이고 서로 독립이라는 조건입니다. 학생이 전체 경우만 센 뒤 같은 확률이라고 적었다면, 처음 어긋난 줄은 지우기보다 남겨 두고 “동전의 두 면은 같은 확률로 나오나요?”라는 질문에 1/2라는 근거까지 붙여 수정하게 합니다.

앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률로 다시 확인합니다

비교 문제에서는 구할 대상이 전체 경우의 수가 아니라 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나오는 사건’의 확률입니다. 전체 18가지 순서쌍 가운데 해당하는 것은 (앞면, 1) 한 가지이므로 1/18입니다. 독립 조건을 이용해도 앞면의 확률 1/2와 숫자 1의 확률 1/9를 곱하여 1/18이 됩니다. 두 풀이가 같은 답으로 만나는지 확인하면, 경우의 수와 확률의 연결이 계산 절차가 아니라 조건에 근거한다는 점을 점검할 수 있습니다. 며칠 뒤에는 기록을 보지 않은 상태에서 순서쌍을 다시 적고, 두 질문에 각각 근거를 말한 뒤 이 확률을 스스로 구하게 합니다. 18가지를 정확히 세었더라도 같은 확률의 이유를 설명하지 못하거나 1/2×1/9를 세우지 못한다면, 나무그림의 갈래와 각 갈래의 확률 표시를 다시 연결해 볼 범위가 남습니다.