LearnMap

수안동 중3수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

수안동 중3수학과외에서 확인한 ‘치환 뒤 항별 곱셈’의 기준

수안동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이를 살펴보니, 학생은 유형 이름을 찾기보다 식에 바로 표시하며 시작했습니다. 수안동중3수학과외에서는 이때 식을 빠르게 전개하는 것보다, 먼저 치환할 부분과 곱해지는 항을 구분하는 데 초점을 맞췄습니다. e편한세상동래명장과 동래동일스위트가 있는 생활권, 부산광역시립명장도서관 인근에서 접할 수 있는 학습 사례처럼 생활권은 배경일 뿐, 이날의 수학적 기준은 복잡한 곱셈식을 치환으로 단순화한 뒤 항별로 정확히 곱하는 것이었습니다. 여명중학교, 사직중학교 등이 포함된 생활권에서도 같은 기준을 적용할 수 있습니다.

식에 먼저 붙인 표시

처음 제시한 식은 다음과 같았습니다.

(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x+1)을 간단히 하시오.

학생은 두 식에 공통으로 들어 있는 2x+3을 네모로 표시하고, 이를 A로 바꾸어 적었습니다.

A(x-4)+A(x+1)

여기까지는 적절했습니다. 이어서 학생은 공통된 A를 묶어 A{(x-4)+(x+1)}이라고 썼습니다. 괄호 안을 계산하면 x-4+x+1=2x-3이므로, 다시 A=2x+3을 대입하여 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

(2x+3)(2x-3)

그런데 학생의 실제 기록에는 이 다음 줄에 4x²-9=4x²+9가 적혀 있었습니다. 전개할 때 뒤의 부호를 그대로 더한 것입니다.

결과보다 앞선 한 번의 확인

틀린 결과를 보고 다시 계산하게 하기보다, 어느 순간 판단이 어긋났는지 되짚었습니다. 최초의 문제는 마지막 계산 실수가 아니라, A를 다시 넣기 전 두 괄호의 항과 부호를 항별로 확인하지 않은 것이었습니다. 학생은 예제에서 보던 순서에 기대어 3과 3을 곱한 뒤 양수라고 처리했지만, 두 번째 괄호의 상수항은 -3이었습니다.

교정은 한 가지로 제한했습니다. 곱셈을 머릿속에서 한꺼번에 처리하지 않고, 각 항을 줄마다 적는 기준을 사용했습니다.

(2x+3)(2x-3)
= (2x)(2x)+(2x)(-3)+3(2x)+3(-3)
= 4x²-6x+6x-9
= 4x²-9

이미 맞게 찾은 치환과 공통인수 정리는 그대로 두고, 곱해지는 항과 부호를 빠짐없이 적는 행동 하나만 바꾼 것입니다. 가운데 두 항은 서로 없어지지만, 그 사실도 먼저 적은 뒤 정리했습니다.

모양을 바꾼 독립 문제

다음에는 공통된 식이 앞에 나란히 놓이지 않은 문제를 제시했습니다.

(y-2)(3y+5)-(y-2)(y-1)을 치환하여 간단히 하시오.

학생은 이번에는 공통 부분을 먼저 찾아 B=y-2라고 두었습니다.

B(3y+5)-B(y-1)

두 번째 항 앞의 마이너스까지 포함해 괄호를 정리해야 하므로, 학생은 이를 B{(3y+5)-(y-1)}로 바꾸었습니다. 괄호 안은 3y+5-y+1=2y+6이므로, B를 되돌려

(y-2)(2y+6)

을 얻었습니다. 이어 항별 곱을 적으면

y(2y)+y(6)+(-2)(2y)+(-2)(6)
=2y²+6y-4y-12
=2y²+2y-12

가 됩니다. 이 문제는 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 공통 부분이 두 번째 곱의 앞에 있고 그 곱 전체가 빼기로 연결된 형태입니다. 따라서 치환한 문자를 되돌릴 때도, 괄호 밖의 부호를 먼저 확인해야 했습니다.

일주일 뒤, 힌트 없이 다시 확인한 풀이

한 주 뒤에는 풀이 순서나 표시 방법을 알려 주지 않고 다음 문제를 주었습니다.

(a+4)(2a-1)+(a+4)(-a+3)의 값을 간단히 나타내시오.

학생은 곧바로 공통 부분을 C=a+4로 정하고, 식을 C(2a-1)+C(-a+3)으로 바꾸었습니다. 이어

C{(2a-1)+(-a+3)}=C(a+2)=(a+4)(a+2)

라고 정리했습니다. 항별로 전개한 기록은 다음과 같았습니다.

a·a+a·2+4·a+4·2
=a²+2a+4a+8
=a²+6a+8

마지막으로 학생은 임의로 a=2를 대입했습니다. 원래 식은 (6)(3)+(6)(1)=18+6=24이고, 정리한 식은 2²+6·2+8=4+12+8=24였습니다. 학생은 “치환한 식과 전개한 식에 같은 수를 넣었을 때 값이 같으므로, 공통 부분을 제대로 묶고 각 항의 부호도 유지했다”고 설명했습니다. 도움 없이 같은 기준을 새 식에 선택하고, 대입으로 전개 전후를 확인한 장면까지 확인할 수 있었습니다.

수안동 중3수학과외 학부모 후기

다른 긴 문장을 해석하던 중 아이가 전부 처음부터 다시 적지 않고, 오류가 난 줄 바로 앞에 펜을 대더라고요. 확인한 부분과 아직 살펴봐야 할 부분을 나눠 둔 것도 눈에 띄었어요. 어디까지 봤는지 표시해 두니 풀이가 한꺼번에 엉키지 않았습니다. 수안동 수학과외라는 말을 접하기 전부터 숙제하는 모습은 종종 봤지만, 예전에는 중간에 어떤 판단을 했는지는 남기지 않고 마지막 결과만 적는 편이었거든요. 그런데 학교 숙제 제출 전날 자료를 챙길 때 계산이 긴 문제를 보더니, 전체 계산을 지우지 않은 채 틀린 줄 직전으로 돌아가 다시 풀기 시작했어요. 답만 새로 쓰는 게 아니라 잘못된 지점 앞에서 이어서 확인하는 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

모의고사 성적표를 받아온 날, 다음 일정을 확인하던 아이가 책상에 펼쳐 둔 문제를 잠시 다시 읽고 있더라고요. 숫자부터 훑을 줄 알았는데 수치가 나온 부분보다 조건을 설명한 문장에 먼저 표시를 하고 있었습니다. 수안동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 눈에 들어와서 잠깐 옆에서 지켜보게 됐어요. 전에는 공부가 끝나면 앞에서 풀었던 부분을 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 같은 문제를 다시 읽으면서 조건부터 짚고, 숫자는 그다음에 확인하는 순서가 분명했습니다. 시험 전 마지막 복습 때도 비슷한 장면이 반복됐어요. 여러 번 확인할 내용이 한데 섞이지 않도록 조건 문장 쪽을 따로 표시해 두고, 수치보다 그 부분을 먼저 찾아보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

수안동에서 수학 수업을 시작하기 전에는 아이가 긴장한 표정으로 모르는 문제를 아예 넘기곤 했습니다. 선생님은 시험 전날 복습할 내용을 함께 고르며 사소한 질문도 왜 궁금했는지부터 차분히 들어주셨고, 아이가 스스로 생각할 시간도 기다려주셨습니다. 요즘은 숙제가 많아 보이면 먼저 이야기하고, 공부를 시작하는 모습도 한결 편안해져 작은 변화가 참 반갑습니다.

★★★★☆학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 수안동 수학과외 선생님과 틀린 문제를 천천히 다시 살펴봤다며, 이번에는 모르는 부분을 숨기지 않았습니다. 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하고, 그날 할 일과 다음에 확인할 내용을 나눠 부담을 줄여주셨습니다. 시험 계획을 다시 세우는 과정에서 아이가 답보다 틀린 이유를 먼저 생각하려는 모습이 보여 조금 안심됐습니다.

★★★★★학부모 후기

수안동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 맞힌 문제도 선생님께 다시 설명해 보려는 모습이 기억에 남았습니다. 질문을 어려워해 한 문제에 오래 붙잡고 있으면 학교 과제와 시험 일정을 함께 살펴 수업량을 조절하고, 오답 공책을 펼쳐 이해한 만큼 다시 풀게 하셨습니다. 요즘은 어려운 문제가 나와도 바로 피하지 않고 조금 더 편하게 공부합니다.

★★★★★학부모 후기