수안동 중3수학과외
수안동 중3수학과외에서 확인한 ‘치환 뒤 항별 곱셈’의 기준
수안동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이를 살펴보니, 학생은 유형 이름을 찾기보다 식에 바로 표시하며 시작했습니다. 수안동중3수학과외에서는 이때 식을 빠르게 전개하는 것보다, 먼저 치환할 부분과 곱해지는 항을 구분하는 데 초점을 맞췄습니다. e편한세상동래명장과 동래동일스위트가 있는 생활권, 부산광역시립명장도서관 인근에서 접할 수 있는 학습 사례처럼 생활권은 배경일 뿐, 이날의 수학적 기준은 복잡한 곱셈식을 치환으로 단순화한 뒤 항별로 정확히 곱하는 것이었습니다.
식에 먼저 붙인 표시
처음 제시한 식은 다음과 같았습니다.
(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x+1)을 간단히 하시오.
학생은 두 식에 공통으로 들어 있는 2x+3을 네모로 표시하고, 이를 A로 바꾸어 적었습니다.
A(x-4)+A(x+1)
여기까지는 적절했습니다. 이어서 학생은 공통된 A를 묶어 A{(x-4)+(x+1)}이라고 썼습니다. 괄호 안을 계산하면 x-4+x+1=2x-3이므로, 다시 A=2x+3을 대입하여 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
(2x+3)(2x-3)
그런데 학생의 실제 기록에는 이 다음 줄에 4x²-9=4x²+9가 적혀 있었습니다. 전개할 때 뒤의 부호를 그대로 더한 것입니다.
결과보다 앞선 한 번의 확인
틀린 결과를 보고 다시 계산하게 하기보다, 어느 순간 판단이 어긋났는지 되짚었습니다. 최초의 문제는 마지막 계산 실수가 아니라, A를 다시 넣기 전 두 괄호의 항과 부호를 항별로 확인하지 않은 것이었습니다. 학생은 예제에서 보던 순서에 기대어 3과 3을 곱한 뒤 양수라고 처리했지만, 두 번째 괄호의 상수항은 -3이었습니다.
교정은 한 가지로 제한했습니다. 곱셈을 머릿속에서 한꺼번에 처리하지 않고, 각 항을 줄마다 적는 기준을 사용했습니다.
(2x+3)(2x-3)
= (2x)(2x)+(2x)(-3)+3(2x)+3(-3)
= 4x²-6x+6x-9
= 4x²-9
이미 맞게 찾은 치환과 공통인수 정리는 그대로 두고, 곱해지는 항과 부호를 빠짐없이 적는 행동 하나만 바꾼 것입니다. 가운데 두 항은 서로 없어지지만, 그 사실도 먼저 적은 뒤 정리했습니다.
모양을 바꾼 독립 문제
다음에는 공통된 식이 앞에 나란히 놓이지 않은 문제를 제시했습니다.
(y-2)(3y+5)-(y-2)(y-1)을 치환하여 간단히 하시오.
학생은 이번에는 공통 부분을 먼저 찾아 B=y-2라고 두었습니다.
B(3y+5)-B(y-1)
두 번째 항 앞의 마이너스까지 포함해 괄호를 정리해야 하므로, 학생은 이를 B{(3y+5)-(y-1)}로 바꾸었습니다. 괄호 안은 3y+5-y+1=2y+6이므로, B를 되돌려
(y-2)(2y+6)
을 얻었습니다. 이어 항별 곱을 적으면
y(2y)+y(6)+(-2)(2y)+(-2)(6)
=2y²+6y-4y-12
=2y²+2y-12
가 됩니다. 이 문제는 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 공통 부분이 두 번째 곱의 앞에 있고 그 곱 전체가 빼기로 연결된 형태입니다. 따라서 치환한 문자를 되돌릴 때도, 괄호 밖의 부호를 먼저 확인해야 했습니다.
일주일 뒤, 힌트 없이 다시 확인한 풀이
한 주 뒤에는 풀이 순서나 표시 방법을 알려 주지 않고 다음 문제를 주었습니다.
(a+4)(2a-1)+(a+4)(-a+3)의 값을 간단히 나타내시오.
학생은 곧바로 공통 부분을 C=a+4로 정하고, 식을 C(2a-1)+C(-a+3)으로 바꾸었습니다. 이어
C{(2a-1)+(-a+3)}=C(a+2)=(a+4)(a+2)
라고 정리했습니다. 항별로 전개한 기록은 다음과 같았습니다.
a·a+a·2+4·a+4·2
=a²+2a+4a+8
=a²+6a+8
마지막으로 학생은 임의로 a=2를 대입했습니다. 원래 식은 (6)(3)+(6)(1)=18+6=24이고, 정리한 식은 2²+6·2+8=4+12+8=24였습니다. 학생은 “치환한 식과 전개한 식에 같은 수를 넣었을 때 값이 같으므로, 공통 부분을 제대로 묶고 각 항의 부호도 유지했다”고 설명했습니다. 도움 없이 같은 기준을 새 식에 선택하고, 대입으로 전개 전후를 확인한 장면까지 확인할 수 있었습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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