부산사직동 중등수학과외

부산사직동중등수학과외, 직육면체 높이가 바뀔 때 겉넓이와 부피를 면별로 확인하기

가로 6, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하는 문제에서, 높이가 두 배가 되면 겉넓이도 무조건 두 배가 된다고 판단하는 경우가 있습니다. 하지만 겉넓이는 여섯 면의 넓이를 더한 값이고, 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱한 공간의 양입니다. 같은 ‘높이 변화’라도 두 값이 변하는 방식은 다릅니다. 부산사직동중등수학과외에서는 답만 고치기보다 어떤 면이 그대로인지, 높이가 어느 계산에 들어가는지를 식과 전개도로 확인하는 방식이 필요합니다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 나누어 보는 이유

기본 문제의 밑면은 6×3이므로 한 면의 넓이가 18이고, 위아래 두 면의 합은 36입니다. 높이 4가 들어가는 옆면은 6×4인 면 두 개와 3×4인 면 두 개입니다. 따라서 겉넓이는 2×(6×3)+2×(6×4)+2×(3×4)=36+48+24=108제곱단위입니다. 전개도에서 밑면 두 개에 번호를 붙이고 옆면 네 개를 따로 표시하면, 높이가 바뀌어도 6×3인 위아래 밑면은 그대로라는 관계가 드러납니다. “높이를 바꿔도 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?”라는 질문에는 6×3인 두 밑면이라고 근거를 붙여 답할 수 있어야 합니다.

공간의 양은 밑면 넓이와 높이를 곱해 확인합니다

부피는 한 층의 넓이인 밑면 6×3=18에 높이 4를 곱하므로 18×4=72세제곱단위입니다. 제곱단위는 면의 넓이, 세제곱단위는 입체가 차지하는 공간의 양이라는 차이도 함께 적어 봅니다. 이 문제에서 높이 4는 부피 식의 18×4에 한 번 곱해집니다. 반면 겉넓이에서는 높이를 포함하는 6×4, 3×4 옆면에만 들어갑니다. 만약 ‘높이가 두 배이니 108×2’라고 계산했다면, 바뀌지 않는 밑면 합 36까지 함께 두 배로 만든 부분을 수정해야 합니다. 처음 쓴 식은 지우기보다 남겨 두고, 어느 항이 고정되는지 표시한 뒤 고친 이유를 연결하는 편이 좋습니다.

높이를 8로 바꾼 뒤에는 식의 각 항을 다시 비교합니다

비교 문제에서는 가로와 세로가 그대로 6, 3이고 높이만 8입니다. 도움 없이 먼저 풀게 한 뒤, 풀이가 끝난 후 기준 식으로 확인합니다. 밑면의 합은 여전히 2×(6×3)=36입니다. 옆면의 합만 2×(6×8)+2×(3×8)=96+48로 바뀌므로 겉넓이는 36+96+48=180제곱단위입니다. 108의 두 배는 216이지만 실제 값은 180입니다. 고정된 36은 두 배가 되지 않으므로 겉넓이가 무조건 두 배가 될 수 없습니다. 부피는 밑면 넓이 18에 새 높이 8을 곱해 18×8=144세제곱단위이며, 이 경우에는 높이만 두 배가 되었으므로 72에서 144로 정확히 두 배가 됩니다.

며칠 뒤에는 전개도나 이전 기록을 보이지 않고 같은 두 과제를 다시 풀어 보며, 108과 72, 180과 144만 맞았는지보다 식을 어떻게 나누었는지를 확인합니다. 두 밑면이 고정된다고 표시하고, 부피에서 높이가 밑면 넓이에 곱해진다고 설명하면 다음 입체도형 문제로 범위를 넓힐 수 있습니다. 반대로 밑면을 옆면과 함께 바꾸거나 부피 식에서 높이를 빠뜨린다면, 해당 줄의 면 넓이와 단위를 다시 써 보며 그 지점부터 복습하는 것이 적절합니다.