부산사직동 중3수학과외

부산사직동 중3수학과외에서 확인한 ‘치환 뒤 항별 곱’

부산사직동과외 수업에서 여명중학교, 사직중학교, 사직여자중학교가 포함된 생활권의 학교 프린트를 함께 살펴보았습니다. 공영아파트와 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 유형이었지만, 핵심은 긴 식을 빨리 계산하는 것이 아니라 치환한 뒤 어떤 항이 실제로 곱해지는지, 부호와 계수가 바뀌는 경계가 어디인지 확인하는 데 있었습니다.

프린트에 남은 첫 식

문제는 다음과 같았습니다.

조건이 x=2a-b일 때,

(x+3)(x-5)+2x를 a, b로 나타내어라.

학생은 먼저 x를 대입해

(2a-b+3)(2a-b-5)+2(2a-b)

까지 정확히 적었습니다. 이후 첫 괄호의 세 항을 두 번째 괄호의 세 항과 곱해야 했지만, 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

(2a-b+3)(2a-b-5)=4a²+b²+15-2ab

그 뒤에 4a²+b²-2ab-6a+8b-15라고 정리했습니다. 최종 답은 틀렸지만, 마지막 계산에서 생긴 단순 실수가 아니었습니다. 이미 전개하는 순간부터 한 항의 부호가 빠져 있었습니다.

결과보다 앞선 판단을 찾다

학생은 첫 번째 항 2a와 두 번째 괄호의 -5를 곱한 -10a, 첫 번째 괄호의 3과 두 번째 괄호의 2a를 곱한 6a를 적지 않았습니다. 대신 ‘앞의 두 항끼리 먼저 곱하고, 뒤의 숫자끼리 곱한다’고 판단했습니다.

즉, 조건 x=2a-b가 바뀐 것은 아니었는데도, 치환된 괄호 안의 각 항이 모두 곱해진다는 기준을 확인하지 않은 것이 최초의 어긋남이었습니다. 여기서 부호 하나를 놓친 것이 아니라, 곱셈식의 항을 대응시키는 기준 자체가 빠졌습니다.

바꾼 것은 한 가지 기록 방식

전체 풀이법을 다시 만들지 않고, 두 괄호의 항을 줄마다 대응시켜 적도록 했습니다.

• 2a×2a=4a²
• 2a×(-5)=-10a
• (-b)×2a=-2ab
• (-b)×(-5)=5b
• 3×2a=6a
• 3×(-5)=-15

이를 모두 모으면

4a²-2ab+(-10a+6a)+5b-15

이고, 동류항만 정리하여

4a²-2ab-4a+5b-15

가 됩니다. 마지막의 2x에는 x=2a-b를 다시 대입하므로

2x=4a-2b

입니다. 따라서 앞에서 얻은 식과 합치면

4a²-2ab-4a+5b-15+4a-2b = 4a²-2ab+3b-15

가 됩니다. 처음부터 맞았던 x의 치환은 그대로 두고, 달라진 것은 각 항을 빠짐없이 곱해 적은 부분뿐입니다.

모양을 바꾼 연습 장면

다음에는 숫자만 바꾼 식이 아니라, 치환식의 위치와 부호를 바꾸었습니다.

y=3m+n일 때,

5y-(y-2)(2y+1)을 m, n으로 나타내어라.

학생은 먼저 y가 들어간 두 자리를 모두 찾아

5(3m+n)-(3m+n-2)(2(3m+n)+1)

로 바꾸었습니다. 여기서 두 번째 괄호는

6m+2n+1

로, 첫 번째 괄호는 3m+n-2로 기록했습니다. 이제 앞 식에 마이너스가 붙어 있으므로, 괄호 안의 곱을 먼저 항별로 계산한 뒤 마지막에 전체 부호를 적용했습니다.

(3m+n-2)(6m+2n+1)

의 항을 빠짐없이 적으면

• 3m×6m=18m², 3m×2n=6mn, 3m×1=3m
• n×6m=6mn, n×2n=2n², n×1=n
• -2×6m=-12m, -2×2n=-4n, -2×1=-2

따라서 곱은 18m²+12mn+2n²-9m-3n-2입니다. 원래 식의 앞부분 5y는 15m+5n이므로, 괄호 앞의 -를 빠뜨리지 않고

15m+5n-(18m²+12mn+2n²-9m-3n-2)

로 정리했습니다. 이 장면에서 확인한 경계는 새로운 공식이 아니라, 곱셈을 끝낸 뒤 바깥의 부호를 각 항에 적용하는 것이었습니다.

힌트 없이 다시 세운 검증

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

p=2r-s일 때, (p-4)(3p+2)-p를 r=1, s=-2에서 계산하여라.

학생은 먼저 p=2×1-(-2)=4라고 계산한 뒤 원래 식에 대입하여 (4-4)(3×4+2)-4=-4를 얻었습니다. 이어 p를 치환한 식

(2r-s-4)(6r-3s+2)-(2r-s)

에서도 첫 괄호와 둘째 괄호의 모든 항을 곱하고, 마지막에 바깥의 빼기를 적용했습니다. 전개한 결과에 r=1, s=-2를 대입했을 때도 -4가 나왔습니다.

학생은 “치환은 문자만 바꾸는 단계이고, 그다음에는 괄호 속 항과 계수, 부호가 실제로 모두 곱해졌는지 확인해야 한다”고 풀이 이유를 설명했습니다. 전개 전 원래 식과 전개 후 식에 같은 값을 넣어 결과가 일치하는지 확인했으므로, 부산사직동중3수학과외에서 다룬 이번 기준을 새 식에서도 스스로 재현한 것입니다.