부산사직동 고2수학과외







공비의 부호가 아니라 절댓값을 먼저 보아야 하는 이유
학생은 등비수열의 극한을 확인하며 “공비가 1보다 작으면 수렴한다”고 판단했다. 그래서 공비가 인 수열도 수렴한다고 적었다. 하지만 이 판단은 과 을 혼동한 데서 생긴 오류다.
오류가 드러난 계산
수열 의 항은
처럼 부호가 번갈아 바뀌고 절댓값은 계속 커진다. 따라서 일정한 값에 가까워지지 않으며 발산한다.
수렴 조건을 부호와 크기로 분리하기
등비수열 에서 공비의 절댓값이 1보다 작으면
이므로 이다. 공비가 음수여도 절댓값이 작으면 부호만 번갈아 바뀔 뿐 항의 크기가 0에 가까워진다.
| 공비 조건 | 예시 | 결과 |
|---|---|---|
| 수렴 | ||
| 발산 | ||
| 발산 |
공부 기록을 고치는 방법
교정 전후 비교
교정 전: 공비가 1보다 작으면 수렴한다.
교정 후: 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 이다. 따라서 등비수열의 극한을 판단할 때는 먼저 을 계산한다.
새 문제로 확인하기
다음 중 수열의 극한이 0인 것을 고르면 된다.
첫 번째 수열은 이므로 극한이 0이다. 두 번째는 두 값이 반복되고, 세 번째는 항의 크기가 커진다.
이처럼 부산사직동과외에서 수열의 극한을 점검할 때도 “”이 아니라 “”을 기준으로 기록하면 같은 오류를 예방할 수 있다.