낙민동 중등수학과외

낙민동중등수학과외, 닮음비 3:6에서 8에 대응하는 길이 16을 확인하는 방법

삼각형의 닮음에서는 대응변을 찾은 뒤에도 비례식의 기준을 끝까지 유지해야 답이 흔들리지 않습니다. 이번 과제는 닮은 두 삼각형에서 작은 삼각형의 한 변 3에 큰 삼각형의 대응변 6이 주어지고, 작은 삼각형의 다른 변 8에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제입니다. 구할 대상은 큰 삼각형의 변이므로 답은 16입니다. 다만 대응변은 맞게 연결하면서도 비례식의 분자와 분모를 중간에 바꾸면 8×3÷6처럼 계산하여 잘못된 길이를 얻을 수 있습니다. 낙민동중등수학과외에서는 계산을 서두르기보다 어느 삼각형의 길이를 위에 썼는지 드러내는 과정을 먼저 확인합니다.

대응 꼭짓점 표에서 3·8과 6·x를 같은 방향으로 놓기

먼저 작은 삼각형과 큰 삼각형을 각각 한 줄의 기준으로 정하고, 대응변을 같은 줄에 적습니다. 작은 삼각형에는 3과 8, 큰 삼각형에는 6과 x가 놓입니다. 3에 대응하는 길이가 6이므로 작은 것에서 큰 것으로 갈 때의 닮음비는 6:3=2:1, 즉 모든 대응변의 길이가 2배가 됩니다. 따라서 8에 대응하는 큰 삼각형의 변은 x=8×2=16입니다. 비례식으로는 6/3=x/8 또는 3/6=8/x처럼 한 식 안에서 위쪽과 아래쪽을 같은 삼각형의 길이로 맞춰 씁니다. 두 식 모두 6×8=3×x가 되어 x=16을 줍니다. 여기서 중요한 질문은 “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”입니다. 이 표시가 되어 있으면 3/6=x/8처럼 기준이 섞인 식을 스스로 발견하기 쉬워집니다.

수정 전 식을 지우지 않고, 왜 방향이 어긋났는지 확인하기

오류를 바로 정답으로 덮으면 다음 문제에서 같은 혼동이 남을 수 있습니다. 처음 쓴 비례식이 있다면 남겨 두고, 3과 6이 대응하는 한 쌍인지, 8과 x가 대응하는 한 쌍인지 화살표로 연결합니다. 이어서 작은→큰 화살표를 두 쌍 모두에 붙이면 3→6은 2배, 8→x도 2배여야 한다는 관계가 보입니다. 예를 들어 8×3÷6으로 계산했다면 8을 큰 삼각형의 값처럼 다루면서 3과 6의 방향은 작은→큰으로 사용한 셈입니다. 수정은 계산 순서가 아니라 비의 방향을 통일하는 데서 시작합니다. x=16을 구한 뒤에는 16/8=2, 6/3=2를 비교하여 두 대응변 쌍의 확대 비율이 같은지 확인합니다. 길이는 양수여야 하고, 큰 삼각형의 대응변 6이 3보다 크므로 8에 대응하는 x도 8보다 큰 16이라는 크기 관계도 함께 점검할 수 있습니다.

큰 삼각형을 먼저 쓴 비교 과제로 방향의 일관성 확인하기

비교 과제에서는 작은 삼각형과 큰 삼각형을 쓰는 순서만 뒤집습니다. 큰 삼각형을 먼저 쓰면 닮음비는 큰:작은=6:3=2:1입니다. 다른 대응변도 큰:작은=x:8이므로 x/8=2/1, 따라서 x=16입니다. 반대로 작은:큰으로 쓰면 3:6=1:2이고 8:x=1:2가 되지만, 역시 x=16입니다. 순서를 바꾸는 일 자체는 문제가 아니며, 한 비례식의 모든 항에서 같은 순서를 지키는지가 핵심입니다. 비교 과제는 먼저 도움 없이 풀게 하고, 풀이 뒤에 ‘큰 삼각형을 먼저 써도 구한 길이는 같은가’를 식으로 설명하게 합니다. 며칠 뒤 기록 없이 다시 풀 때에도 6/3=x/8 또는 3/6=8/x를 스스로 선택하고, 두 비에서 같은 삼각형의 길이를 분자에 놓았다고 말할 수 있는지 확인합니다. 이 근거가 갖추어지면 닮음비 방향을 유지하는 다음 연습으로 이어가고, 멈춘다면 대응변 표와 화살표를 다시 사용해 어느 항에서 기준이 바뀌었는지 살펴봅니다.