낙민동 중3수학과외

낙민동 중3수학과외, 반복되는 식을 먼저 치환한 곱셈 정리

낙민동과외 수업에서는 e편한세상동래명장과 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 자주 만나는 중3 수준의 식을 골라, 계산량을 줄이는 판단부터 살펴보았습니다. 이번 낙민동중3수학과외의 범위는 치환을 이용해 복잡한 곱셈식을 단순화하고, 계산 전에 필요한 항과 부호를 선별하는 것으로 한정했습니다.

전개를 시작하기 전, 눈에 들어온 두 항

문제는 다음 식을 간단히 하는 것이었습니다.

(3x-2)(2x+5) - (3x-2)(x-1)

학생은 식을 보자마자 첫 번째 곱을 전개했습니다.

(3x-2)(2x+5)=6x²+11x-10

이 계산 자체는 맞았습니다. 이어서 두 번째 곱을 계산하려던 순간, 학생은 앞의 괄호가 두 항에 똑같이 반복된다는 사실을 확인하지 않은 채 다음처럼 적었습니다.

6x²+11x-10-(3x-2)(x-1)

그 뒤 두 번째 곱에서 부호를 잘못 처리하여 최종식의 부호가 달라졌습니다. 중요한 점은 마지막 계산 실수가 아니라, 계산을 시작하기 전에 반복되는 항과 각 곱 앞의 부호를 선별하지 않은 판단이 먼저 어긋났다는 것입니다.

한 글자 치환으로 곱셈의 구조를 보이기

이번에는 계산을 되돌려 이미 맞은 전개를 지우지 않고, 처음 확인해야 할 부분만 고쳤습니다. 반복되는 항을 다음과 같이 두었습니다.

A=3x-2

그러면 원래 식은

A(2x+5)-A(x-1)

가 됩니다. 두 곱 모두 A를 포함하고 있고, 두 번째 곱 앞에는 반드시 뺄셈 기호가 있다는 것을 항별로 표시했습니다.

• 첫 번째 곱: A와 (2x+5)
• 두 번째 곱: A와 (x-1), 전체 앞에 −
• 공통으로 반복되는 항: A=3x−2

따라서 두 곱을 각각 길게 전개하지 않고

A{(2x+5)-(x-1)}=A(x+6)

로 정리할 수 있습니다. 마지막으로 A를 원래 식으로 되돌리면

(3x-2)(x+6)=3x²+16x-12

입니다. 여기서 새 계산법을 여러 개 추가한 것이 아니라, 빠뜨렸던 반복 항과 앞의 부호를 먼저 적는 행동 하나만 바로잡았습니다. 처음에 맞았던 곱셈 결과를 억지로 이어 가지 않고, 식의 모양을 확인한 뒤 같은 곱셈을 더 짧게 배열한 것입니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 문제에서는 반복되는 항의 위치와 부호가 달라졌습니다.

(4y+1)(y-3)+(4y+1)(2y+5)

이번에는 학생이 먼저

B=4y+1

이라고 정하고, 두 항 모두 B와 곱해져 있으며 가운데 부호가 플러스라는 근거를 적었습니다. 따라서

B{(y-3)+(2y+5)}=B(3y+2)

이고, 원래 식으로 돌아가면

(4y+1)(3y+2)=12y²+11y+2

입니다. 앞 문제의 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 괄호 안의 순서와 연결 부호를 먼저 판별해야 하는 형태입니다. 그래도 같은 세부 기준인 ‘반복되는 항과 부호를 선별한 뒤 치환하여 곱셈을 정리하기’만 사용했습니다.

힌트 없이 값으로 확인한 마지막 기록

마지막에는 다음 식을 안내 없이 정리하게 했습니다.

(2z-5)(z+4)-(2z-5)(3z-1)

학생은 먼저 “반복 항은 2z−5, 두 번째 곱 앞은 마이너스”라고 적고

C=2z-5
C{(z+4)-(3z-1)}=C(-2z+5)

를 세웠습니다. 따라서 결과는

(2z-5)(-2z+5)=-4z²+20z-25

입니다. 이어 z=2를 스스로 대입해 원래 식을 계산했습니다.

(-1)(6)-(-1)(5)=-6+5=-1

정리한 식에도 z=2를 넣으면 −16+40−25=−1이므로 두 값이 같습니다. 학생은 “반복된 항을 C로 바꾸고, 두 번째 괄호 앞의 뺄셈까지 함께 확인했기 때문에 같은 값이 나왔다”고 설명했습니다. 치환 뒤 원래 식으로 되돌린 결과를 실제 값으로 비교하면서, 같은 기준을 힌트 없이 재현한 것입니다.