여의동 고2수학과외







sin²θ+cos²θ를 먼저 확인하는 이유
“sinθ+cosθ=1”로 기억한 채 계산을 시작하면, 삼각함수 값이 주어진 문제에서 바로 오류가 생깁니다. 우석고등학교 학생의 풀이 기록에서도 계산보다 먼저 기본 관계를 잘못 선택한 것이 핵심 원인이었습니다.
오류 장면: 더하는 관계가 아니라 제곱 관계
삼각함수의 기본 관계는 다음과 같습니다.
sin²θ+cos²θ=1
이는 단위원의 좌표를 생각하면 확인할 수 있습니다. 단위원 위의 점을 (cosθ, sinθ)로 나타내면 x²+y²=1이므로 곧 cos²θ+sin²θ=1이 됩니다.
한 함수값에서 다른 값 구하기
문제: θ가 예각이고 sinθ=3/5일 때 cosθ를 구하여라.
기본 관계에 대입하면
cos²θ=1-sin²θ
=1-(3/5)²
=1-9/25
=16/25
따라서 cosθ=±4/5이지만, θ가 예각이므로 cosθ>0입니다.
cosθ=4/5
조건 없는 경우의 후보 확인
θ의 범위가 제시되지 않았다면 cosθ는 4/5 또는 -4/5가 될 수 있습니다. 제곱식만으로는 부호가 결정되지 않기 때문입니다.
예를 들어 sinθ=3/5라면 가능한 값쌍은 (sinθ, cosθ)=(3/5, 4/5) 또는 (3/5, -4/5)입니다. 두 경우 모두
sin²θ+cos²θ=9/25+16/25=1
을 만족합니다.
새 문제에 적용하는 검증 순서
- sinθ+cosθ=1이 아니라 sin²θ+cos²θ=1인지 확인한다.
- 주어진 값을 제곱하여 다른 함수값의 제곱을 구한다.
- 제곱근을 취한 뒤 θ의 사분면이나 범위로 부호를 결정한다.
- 마지막에 두 제곱의 합이 1인지 대입해 검산한다.
여의동에서 여의동과외를 통해 삼각함수를 공부할 때도 정답만 외우기보다, 값쌍이 기본 관계를 만족하는지 먼저 판단하는 습관을 남기는 것이 중요합니다.