LearnMap

중촌동 중3수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

중촌동 중3수학과외에서 살펴본 인수분해 풀이의 첫 오류

중촌주공2단지아파트가 있는 생활권에서 중3수학 풀이를 점검하다 보면, 답만 보면 맞는 듯하지만 식을 세우는 순간 이미 방향이 바뀐 경우가 있습니다. 이번에는 대전중앙중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 한밭도서관 인근 생활권에서 자습하며 남긴 풀이를 바탕으로, 인수분해로 이차방정식을 푸는 과정에서 최초 오류를 거꾸로 찾는 일에 집중했습니다. 다른 풀이법으로 넓히지 않고, 인수분해한 식에서 해를 결정하는 계수와 부호만 확인했습니다.

답에서 거꾸로 확인한 풀이 기록

문제는 다음과 같았습니다.

x²-5x+6=0을 인수분해하여 해를 구하여라.

학생은 공책에 먼저 다음처럼 적었습니다.

x²-5x+6=(x-2)(x-3)

여기까지는 맞았습니다. 이어서 두 인수가 0이 되어야 한다고 보고,

x-2=0 또는 x-3=0
x=2, 3

이라고 썼습니다. 그런데 옆에 적힌 최종 답은 ‘x=3’ 하나뿐이었습니다. 처음에는 마지막 줄에서 해 하나를 빠뜨린 계산실수처럼 보였지만, 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽어 보니 학생은 풀이 중간에 ‘해는 큰 수만 선택’이라고 표시해 두었습니다. 즉, 계산을 마친 뒤의 실수가 아니라 두 인수가 0이 되는 상황에서 해를 하나만 남겨도 된다고 판단한 것이 가장 먼저 어긋난 지점이었습니다.

인수분해 결과가 (x-2)(x-3)=0이면 두 인수 중 어느 하나가 0일 수 있습니다. 따라서 x=2와 x=3을 모두 확인해야 합니다. x=2를 원래 식에 넣으면 4-10+6=0이고, x=3을 넣으면 9-15+6=0입니다. 뒤의 대입 계산은 맞았으므로, 필요한 것은 풀이 전체를 다시 쓰는 일이 아니었습니다.

남아 있던 계산은 두고, 해를 결정하는 줄만 고치기

교정할 때 학생에게 식을 처음부터 다시 풀게 하지 않았습니다. 이미 정확했던 인수분해와 두 식을 그대로 두고, 해를 선택한 한 줄만 바꾸었습니다.

(x-2)(x-3)=0에서
x-2=0 또는 x-3=0이므로
x=2 또는 x=3

그리고 원래 방정식에 두 값을 각각 대입했습니다.

  • x=2: 2²-5×2+6=4-10+6=0
  • x=3: 3²-5×3+6=9-15+6=0

이때 고친 행동은 하나였습니다. 인수분해한 두 인수를 적은 뒤, 어느 인수가 0이 될 수 있는지 모두 해로 남기는 것입니다. 계수 계산이나 인수분해 식은 불필요하게 바꾸지 않았습니다.

표현이 달라진 문제에서 같은 기준 찾기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 해를 직접 쓰지 않고 인수의 형태를 먼저 판단해야 하는 문제를 제시했습니다.

어떤 이차방정식이 (2x+1)(x-4)=0으로 정리되었다. 두 해를 구하여라.

이번에는 중간 풀이를 가리지 않고 학생이 스스로 적게 했습니다.

2x+1=0 또는 x-4=0

따라서

x=-1/2 또는 x=4

학생은 이번에는 첫 번째 인수의 상수항이 1이라는 이유로 x=1이라고 쓰지 않았습니다. 2x+1=0에서 2x=-1이 된다는 부호와 계수를 확인한 뒤, 두 인수에서 나온 해를 모두 남겼습니다. 식의 모양이 달라져도 핵심은 동일했습니다. 인수분해된 곱이 0이면 각 인수를 하나씩 0으로 놓고, 빠짐없이 해를 기록하는 것입니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

마지막에는 다음 문제만 제시하고 별도의 표시나 질문을 하지 않았습니다.

x²+x-12=0의 해를 인수분해로 구하고, 구한 값이 맞는지 원래 방정식에 대입하여 확인하여라.

학생은 먼저 x²+x-12를 보고 두 수의 곱이 -12이고 합이 1이 되도록 4와 -3을 골랐습니다.

x²+x-12=(x+4)(x-3)

그다음

x+4=0 또는 x-3=0

이라고 쓴 뒤 x=-4, 3을 모두 기록했습니다. 풀이 이유도 “곱이 0이므로 두 인수 중 하나가 0일 수 있고, 어느 쪽인지 미리 정할 수 없어서 두 경우를 모두 썼다”고 설명했습니다.

검산에서도 두 값을 원래 식에 넣었습니다.

  • x=-4: (-4)²+(-4)-12=16-4-12=0
  • x=3: 3²+3-12=9+3-12=0

이번에는 누가 먼저 해를 골라 주지 않아도, 인수분해한 뒤 두 인수를 각각 0으로 놓는 기준을 스스로 선택했습니다. 중촌동과외 수업에서 확인한 변화는 풀이량이 늘어난 것이 아니라, 정답으로 가기 전 가장 먼저 판단해야 할 줄을 놓치지 않는 것이었습니다. 이 점은 중촌동중3수학과외에서 인수분해 문제를 점검할 때도 같은 방식으로 확인할 수 있습니다.

중촌동 중3수학과외 학부모 후기

모의고사 성적표를 받아온 날, 책상 주변을 치우다가 시험지 한쪽에 숫자들이 따로 적혀 있는 걸 보게 됐어요. 틀린 문제를 모아둔 건가 싶었는데, 아이가 마지막에 검산할 문제 번호만 추려 놓은 거더라고요. 예예전에는 공부가 끝나면 다시 펼쳐보는 일이 거의 없었거든요. 중촌동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 그 종이를 잠깐 확인했는데, 문제를 무작정 다시 푸는 게 아니라 끝에 확인할 것만 구분해 둔 모습이 눈에 띄었어요. 시험 전 복습하던 저녁에는 그 번호들을 또 따로 적어 두고, 나중에 볼 부분과 섞이지 않게 남겨두고 있었습니다. 시험지 전체가 아니라 검산할 문제만 골라 놓은 점이 전과 달랐어요.

★★★★☆학부모 후기

학교 숙제가 나온 날 아이가 답을 적고 바로 채점하지 않더라고요. 문제에서 정한 범위나 조건이 빠진 건 없는지 답 옆을 다시 살펴본 뒤, 확인한 부분만 표시해 두고 나머지 자료는 한쪽으로 정리했어요. 중촌동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 단순히 답을 맞혔는지보다 문제에 맞게 풀었는지를 먼저 보는 모습이 눈에 띄었습니다. 문제집 한 권을 끝내고 자료를 챙기던 날에도 비슷했어요. 예전에는 복습할 때 아는 내용과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않고 한꺼번에 넘겼거든요. 그런데 그날에는 답을 적은 다음 단위와 범위를 먼저 확인하고, 빠진 조건이 없는지 살핀 뒤에야 다음 자료로 넘어갔습니다. 답지보다 자기 풀이에서 확인할 곳을 먼저 찾고 있던 모습이 꽤 또렷했어요.

★★★★★학부모 후기

중촌동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 숙제를 펼치기까지 오래 걸렸고, 어려운 문제는 금세 포기하곤 했습니다. 선생님은 컨디션에 따라 문제 수를 줄이고 핵심만 다루면서도, 틀린 문제를 덮지 않고 스스로 다시 풀어보게 했습니다. 요즘은 모르는 부분을 선생님께 다시 설명해 달라고 편하게 말하는 모습이 보여 흐뭇합니다.

★★★★★학부모 후기

중촌동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 계산이 조금만 복잡해지면 금세 조급해졌는데, 시험 다음 날 선생님과 틀린 문제를 편하게 이야기하는 모습을 보니 마음이 놓였습니다. 저녁 식사 후 숙제를 서두르기보다 막힌 부분을 표시해 두면, 선생님이 진도를 멈추고 이해할 때까지 차분히 다시 설명해 주셨습니다. 이제는 틀린 문제를 다시 펼치는 것도 예전보다 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 모르는 문제가 나와도 혼자 끙끙대며 넘기고, 수업에서 배운 내용도 집에서는 다시 보지 않았습니다. 중촌동에서 과외를 시작한 뒤 선생님은 숙제를 한꺼번에 재촉하지 않고 지금 할 일과 나중에 볼 내용을 나눠 주셔서 부담을 덜어 주셨습니다. 수업이 끝난 후에는 무엇부터 복습해야 할지 스스로 말하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기