중촌동 고1수학과외

중촌동 고1수학과외: 다항식의 곱셈에서 식의 동치 여부를 확인한 사례

다항식의 곱셈 문제에서 학생은 계산 자체보다 두 식이 같은 식인지 판단하는 단계에서 멈췄다. 특히 괄호 앞에 음수가 붙은 식을 전개할 때, 항의 부호가 바뀌는 범위를 정확히 구분하지 못했다.

괄호 앞의 부호에서 시작된 오답

학생은 다음 식을 전개하면서 분배법칙을 적용했다.

(x+2)(x-3) - (x-1)(x+4)

첫 번째 곱은 x²-x-6으로 바르게 계산했지만, 두 번째 곱 전체를 빼는 과정에서 x²+3x-4를 그대로 이어 적었다. 그 결과 정리한 식은 -4x-2가 되었고, 실제 전개 결과인 -4x-2와 우연히 일치해 오류가 드러나지 않았다. 이후 비슷한 식에서 항의 순서를 바꾸자 부호가 어긋났고, 학생은 계산 결과만 보고 식의 동치 여부를 판단하고 있었다.

부호가 적용되는 범위를 한 줄에 표시하기

교정할 때는 여러 검산법을 동시에 사용하지 않고, 뺄셈 기호가 두 번째 괄호 전체에 작용한다는 점만 표시하게 했다.

(x+2)(x-3) - (x-1)(x+4)
= (x²-x-6) - (x²+3x-4)
= x²-x-6-x²-3x+4
= -4x-2

학생은 두 번째 괄호를 전개한 뒤 그 앞의 음수가 각 항에 전달된다는 사실을 항별로 확인했다. 이 과정을 통해 괄호를 없애는 순간에 부호가 바뀌는 것과, 괄호 안에서 곱셈을 계산하는 것을 분리했다.

전개식에서 인수분해식으로 표현을 바꾸어 보기

다음에는 같은 계산을 반대 방향으로 제시했다.

x²-4x-5와 같은 꼴로 정리되는 두 일차식의 곱을 찾아라.

학생은 두 수의 곱이 -5이고 합이 -4라는 조건을 이용해 (x-5)(x+1)을 찾았다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 전개된 다항식을 인수의 곱으로 바꾸는 문제였기 때문에, 항의 부호와 상수항의 관계를 새롭게 적용해야 했다. 학생은 곱셈 결과의 가운데항이 1x-5x=-4x가 되는지 확인하며 식의 형태를 판단했다.

처음 보는 식에서 동치식을 확인한 방법

마지막에는 다음 두 식이 동치인지 판단하게 했다.

(x-2)(x+5) - 3(x-1)
x² - 4

학생은 먼저 첫 번째 식을 전개해 x²+3x-10-3x+3=x²-7을 얻었다. 따라서 두 식은 동치가 아니라고 결론 내렸다. 이번에는 부호 표시가 아니라 서로 다른 두 식에 같은 값을 대입해 결과가 일치하는지도 확인했다. x=2를 대입하면 첫 번째 식은 -3, 두 번째 식은 0이므로 두 식이 같지 않다는 판단과 일치했다.

중촌동 생활권에서 진행한 이 학습 사례의 핵심은 전개 공식 암기가 아니라, 괄호 앞 부호가 어느 항에 작용하는지 분명히 하고 표현이 바뀐 식에서도 동치 여부를 확인하는 데 있었다.