중촌동 고2수학과외
상한이 다른 두 시그마를 만났을 때
학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\[ \sum_{k=1}^{n} k-\sum_{k=1}^{n-1} k =\sum_{k=1}^{n}(k-k)=0 \]
오류는 뺄셈 자체가 아니라 두 시그마의 범위를 확인하지 않고 항을 합친 데서 시작된다. 두 번째 합에는 \(k=n\)인 항이 없기 때문에 위 계산은 성립하지 않는다.
범위를 먼저 비교하기
\[ \sum_{k=1}^{n} k-\sum_{k=1}^{n-1} k \]
첫 번째 합을 두 부분으로 나누면
\[ \sum_{k=1}^{n} k =\sum_{k=1}^{n-1} k+n \]
따라서
\[ \sum_{k=1}^{n} k-\sum_{k=1}^{n-1} k =\left(\sum_{k=1}^{n-1} k+n\right)-\sum_{k=1}^{n-1} k =n \]
결과는 \(0\)이 아니라 \(n\)이다.
바로 합칠 수 있는 경우와 없는 경우
첨자 범위가 완전히 같다면 시그마의 합·차 성질을 바로 적용할 수 있다.
\[ \sum_{k=1}^{n} (2k+1)-\sum_{k=1}^{n}(k-3) =\sum_{k=1}^{n}\{(2k+1)-(k-3)\} =\sum_{k=1}^{n}(k+4) \]
반면
\[ \sum_{k=2}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{n-1}a_k \]
처럼 시작점과 끝점이 다르면 항을 그대로 합칠 수 없다. 공통 범위를 분리하면
\[ \sum_{k=2}^{n}a_k =a_n+\sum_{k=2}^{n-1}a_k \]
\[ \sum_{k=1}^{n-1}a_k =a_1+\sum_{k=2}^{n-1}a_k \]
이므로 차는
\[ a_n-a_1 \]
최종 확인 기준
- 두 시그마의 시작 첨자와 끝 첨자가 같은가?
- 범위가 다르면 남는 항을 따로 분리했는가?
- 합친 뒤에도 각 항의 첨자 범위가 유지되는가?
대전중앙고등학교 수학 문제에서 시그마의 성질을 적용할 때도 계산보다 먼저 범위를 표시하면 실수를 줄일 수 있다. 중촌동과외에서는 같은 범위의 합·차와 범위가 다른 합·차를 나누어 연습하며 이 판단 기준을 익힌다.