중촌동 고3수학과외

그래프의 기울기에서 시작된 극대·극소 판단의 역추적

중촌동 생활권에서 기출 문제를 다시 풀던 학생에게 그래프의 일부와 정답 해설을 가린 변형 문항을 제시했다. 함수의 식 전체를 먼저 보지 않고, 학생은 그림에 남아 있는 곡선의 기울기를 읽어 극대와 극소의 위치를 정하려 했다. 기울기가 양수인 구간에서 그래프가 올라가고, 음수인 구간에서 내려간다는 점을 이용하려는 출발 자체는 자연스러웠다.

문제의 함수는 f(x)=x³-3ax, 단 a>0이었다. 학생은 먼저 f′(x)=3x²-3a=0에서 x=-√a, √a를 구했다. 여기까지의 계산은 맞았지만, 왼쪽 임계점에서 기울기가 음수에서 양수로 바뀐다고 표시하고 그 점을 극대라고 결론 내렸다. 실제로는 x=-√a의 왼쪽에서 f′(x)>0, 오른쪽에서 f′(x)<0이므로 극대이며, x=√a에서는 음수에서 양수로 바뀌어 극소이다. 학생의 오답은 뒤의 대입 계산이 아니라, 부호변화를 읽는 첫 선택에서 시작된 셈이다.

정답에서 거꾸로 찾은 한 줄

해설을 모두 보여 주지 않고 정답에 표시된 극대의 x좌표만 남겼다. 학생은 자신의 풀이를 줄마다 대조하면서 처음 결론이 달라진 줄에 표시했다. 그 결과 ‘왼쪽 점에서 −→+이므로 극대’라고 적은 문장이 최초의 오류로 드러났다. 이후 함수값을 계산하고 두 후보의 높이를 비교한 과정은 그 잘못된 분류를 따라간 것이므로, 뒤 계산을 전부 다시 고치기보다 부호변화 판단만 먼저 수정하기로 했다.

교정 방법은 간단히 제한했다. 두 임계점의 좌우에 각각 시험값을 넣어 부호를 적는 것이었다. 예를 들어 a=4라면 f′(x)=3(x-2)(x+2)이고, 구간을 x<-2, -2<x<2, x>2로 나눈다. 각 구간에서 부호는 차례로 +, −, +이다. 따라서 x=-2는 증가에서 감소로 바뀌는 극대, x=2는 감소에서 증가로 바뀌는 극소라고 판단한다. 그래프의 모양을 눈으로만 결정하지 않고, 변화 방향을 좌우 부호로 확인하도록 한 것이다.

매개변수가 숨어도 같은 기준을 쓰는가

다음에는 그래프 대신 “f′(x)=3(x²-b²), b>0”이라는 조건과 두 임계점의 순서만 제시했다. 단순히 앞 문제의 숫자를 바꾼 것이 아니라, 원래 함수 f를 보이지 않고 도함수의 구조만 판단하게 만든 변형이었다. 학생은 먼저 임계점을 −b, b로 적은 뒤 세 구간을 나누었다. −b의 왼쪽은 양수, 가운데는 음수, b의 오른쪽은 양수라고 설명하며 극대와 극소를 각각 분류했다.

이번에는 오답 풀이가 함께 제시됐다. 어떤 풀이가 두 점을 모두 극대라고 주장하고 있었지만, 학생은 결론부터 고르지 않고 부호표의 가운데 구간을 확인했다. 그 구간의 부호가 양수라면 앞뒤 변화가 달라질 수 없다는 점을 근거로 잘못된 후보를 버렸다. 이어 b=3을 원래 도함수에 대입해 실제 부호가 +, −, +로 이어지는지 확인했다. 매개변수가 들어가도 ‘왼쪽과 오른쪽에서 부호가 어떻게 바뀌는가’를 먼저 묻는 행동이 남아 있었다.

다음 날, 표시 없이 판단한 장면

다음 날에는 해설과 부호표를 모두 가리고, g′(x)=(x+1)(x-3)인 함수의 극대·극소를 판단하게 했다. 학생은 곧바로 g′(x)=0에서 후보를 −1과 3으로 찾았지만, 두 점을 극대나 극소라고 단정하지 않았다. 먼저 구간을 x<−1, −1<x<3, x>3으로 나누고 시험값을 넣어 부호를 +, −, +로 복원했다. 그래서 x=−1은 극대, x=3은 극소라고 설명했다.

마지막 검증에서는 그래프에서 읽은 좌표 하나를 실제 식에 대입하게 했다. 좌표를 임의로 꾸미지 않고, 각 후보에서 함수값을 계산해 그래프의 높낮이와 맞는지 대조했다. 또 원래 조건이 a>0이라는 사실을 거꾸로 확인해 임계점이 두 개라는 전제도 점검했다. 결론만 맞힌 것이 아니라, 후보를 만든 뒤 부호변화를 확인하고 원식에 재대입하는 순서가 스스로 복원된 것이다. 대전중앙고등학교 인근 생활권에서 진행한 대전중앙고등학교 고3수학과외 학습에서도 이처럼 오답의 마지막 줄보다 최초의 부호 판단을 먼저 추적하는 방식이 효과적으로 드러났다.