중촌동 중2수학과외

중촌동 중2수학과외에서 오답의 첫 줄을 거꾸로 찾다

중촌동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 답을 맞히지 못한 문제를 다시 펼쳤다. 문제는 −3x+5≤14를 풀고 해를 수직선에 나타내는 것이었다. 학생은 먼저 양변에서 5를 빼서 −3x≤9를 만들었고, 다음 줄에 x≤−3이라고 적었다. 수직선에는 −3을 가득 칠한 점으로 표시했지만, 풀이 옆에는 잠시 물음표를 남겼다.

학생은 자신의 풀이와 다른 풀이를 나란히 놓고 결과가 달라지는 지점을 찾았다. 두 풀이의 마지막 줄부터 거꾸로 읽으며, 숫자 계산보다 먼저 부호가 바뀐 순간을 표시했다. −3x≤9에서 x를 구하려고 양변을 −3으로 나눈 줄에 빨간 밑줄이 멈췄다. 그 줄에서 부등호를 그대로 둔 것이 결과를 틀어지게 한 최초의 판단이었다. 뒤의 수직선 표시가 어긋난 것은 그 선택에 따라 생긴 결과였으므로, 학생은 마지막 그림부터 고치지 않고 해당 줄만 다시 살폈다.

경계값을 직접 대입해 판단을 바로 세우기

교사는 이미 맞게 계산한 −3x≤9까지는 그대로 두고, 양변을 음수로 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다는 한 가지 장면만 짚었다. 따라서 해는 x≥−3이다. 학생은 “음수로 나누면 수직선에서 왼쪽과 오른쪽의 관계가 뒤집히므로 부등호도 함께 뒤집는다”고 자신의 말로 적었다.

그다음 경계값 −3을 원래 식에 바로 넣었다.

−3×(−3)+5=14이므로 14≤14가 성립한다. 따라서 −3은 해에 포함되고, 점은 빈 점이 아니라 가득 찬 점이다.

학생은 −3보다 큰 수인 0도 대입했다. −3×0+5=5이므로 5≤14가 성립했다. 반대로 −4를 넣으면 17≤14가 되어 성립하지 않았다. 이 검산으로 해가 −3의 오른쪽이라는 점과 경계값 포함 여부를 동시에 확인했다. 전체 풀이를 처음부터 다시 쓰지 않고, 틀린 분기점과 그 근거만 고친 셈이다.

식이 가려진 상태에서 시작점을 다시 찾기

같은 수업에서 문제 형태를 바꾸었다. 이번에는 풀이 중간을 가리고, 다음과 같은 설명과 수직선만 제시했다.

• 수직선에서 −2에 가득 찬 점을 찍었다.
• 색칠한 방향은 −2보다 오른쪽이다.
• 처음 식은 4−2x≥8이었다.

학생은 답을 바로 쓰지 않고 식의 양변에서 4를 빼 −2x≥4를 적었다. 이어 음수인 −2로 나누는 순간에 부등호를 반대로 바꾸어 x≤−2라고 썼다. 그런데 제시된 수직선은 오른쪽을 가리키고 있었으므로, 학생은 그림과 식이 맞지 않는다는 것을 발견했다. 중간 풀이를 가린 채 어디서 방향이 달라졌는지 찾아보니, 이번에는 −2로 나눈 뒤 부등호를 바꾸지 않은 줄이 아니라 수직선 방향을 식과 반대로 옮긴 것이 문제였다. 학생은 식을 x≤−2로 유지하고, −2에 가득 찬 점에서 왼쪽을 색칠하도록 고쳤다.

경계값은 다시 원래 식에 넣었다. 4−2×(−2)=8이므로 8≥8이 성립해 −2는 포함된다. −3을 넣으면 10≥8, 0을 넣으면 4≥8이 거짓이다. 따라서 왼쪽 방향이라는 결론도 계산과 일치했다.

힌트 없이 같은 판단을 재현한 장면

수업 후반, 학생은 새로운 문제 7−4x<19를 받았다. 이번에는 풀이 순서나 표시 방법에 관한 도움을 받지 않았다. 학생은 먼저 양변에서 7을 빼 −4x<12를 만들고, “−4로 나누므로 방향을 바꾼다”고 바로 적어 x>−3을 얻었다.

학생은 경계값을 포함하지 않는 이유도 설명했다. −3을 원래 식에 대입하면 7−4×(−3)=19가 되어 19<19는 거짓이므로 −3에는 빈 점을 찍어야 한다고 말했다. 이어 −2를 넣으면 15<19로 참이고 −4를 넣으면 23<19로 거짓이므로 −3보다 오른쪽만 색칠했다. 수직선의 빈 점, 오른쪽 방향, 원래 부등식의 대입 결과가 모두 같은 판단을 가리키는지 스스로 확인했다.

대전중앙중학교가 포함된 생활권과 중촌주공2단지아파트가 있는 생활권에서 중2수학과외를 진행할 때도, 학생은 답만 외우지 않고 음수로 나누는 첫 판단과 경계값의 포함 여부를 한 줄씩 확인하는 방식으로 풀이를 재현했다. 이번 독립 풀이에서는 교사의 표시 없이도 그 근거를 직접 말하고 검산까지 마쳤다.