관저동 중등수학과외

관저동중등수학과외, 동전과 회전판의 22가지 경우를 근거로 확인하기

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개와, 1부터 11까지의 수가 각각 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때 전체 경우의 수를 묻는 문제입니다. 답은 22가지입니다. 동전 결과 2가지와 회전판 결과 11가지를 곱해 2×11=22로 구합니다. 다만 답을 맞혔다고 해서 확률의 근거까지 모두 확인된 것은 아닙니다. 관저동중등수학과외에서는 ‘동전은 두 결과가 있다’는 말에서 멈추지 않고, 왜 22개의 결과를 같은 가능성으로 세어도 되는지 풀이의 두 줄을 연결해 살펴볼 수 있습니다.

동전의 두 면이 같은 확률이라는 조건을 식에 연결합니다

나무그림의 첫 갈래에 앞면, 뒷면을 쓰고 각각 1/2를 표시합니다. 이어 각 갈래 아래에 회전판의 1, 2, 3, …, 11을 적으면 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (뒷면, 11)처럼 순서쌍이 만들어집니다. 이때 동전의 두 면이 같은 확률이라는 조건은 앞면 쪽 11개와 뒷면 쪽 11개가 한쪽으로 치우치지 않게 출발한다는 뜻입니다. 회전판도 각 숫자가 같은 확률이므로 한 결과의 확률은 1/2×1/11=1/22입니다. 따라서 22가지라는 경우의 수와 ‘각 경우가 같은 확률’이라는 판단은 따로 적어 확인해야 합니다. 예를 들어 동전에 앞면이 더 잘 나오는 조건이었다면 결과의 종류는 여전히 22가지여도 각 순서쌍의 확률은 같지 않을 수 있습니다.

독립 시행은 앞 결과가 다음 결과를 바꾸지 않는다는 뜻입니다

두 번째 줄에서는 회전판 결과와 동전 결과가 서로 독립인지 확인합니다. 독립이라는 말은 동전에서 앞면이 나왔다는 사실이 회전판에서 1이 나올 가능성을 바꾸지 않고, 회전판에서 어떤 숫자가 나와도 동전의 앞면·뒷면 확률이 달라지지 않는다는 뜻입니다. 그래서 각 가지에 같은 11개의 회전판 결과를 붙일 수 있고, 곱셈법칙 2×11을 사용할 수 있습니다. 풀이에 단순히 ‘독립’이라고만 쓰기보다 “동전 결과와 무관하게 회전판의 1부터 11까지가 각각 1/11”이라고 덧붙이면 판단 근거가 분명해집니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 나무그림에서 앞면과 뒷면 아래에 똑같은 1~11이 반복된 모습을 표시하는 방법도 가능합니다.

비교 문제에서는 한 순서쌍을 골라 1/22인지 확인합니다

앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률은 전체 22가지의 같은 확률 결과 중 (앞면, 1) 한 가지를 고르는 경우이므로 1/22입니다. 또는 앞면의 확률 1/2와 숫자 1의 확률 1/11을 곱해 1/2×1/11=1/22로 계산할 수 있습니다. 검산할 때는 분자 1이 원하는 순서쌍 하나를 뜻하는지, 분모 22가 실제로 같은 확률로 셀 수 있는 전체 순서쌍인지 확인합니다. 독립이 아니거나 회전판의 숫자별 확률이 다르다면 이 분모를 그대로 확률 계산에 쓰면 안 됩니다. 이후에는 정답을 가린 뒤 동전의 두 면이 같은 확률인 이유와 두 시행이 서로 영향을 주지 않는 이유를 그림·식·짧은 문장 중 한 방식으로 남기게 합니다. 그 근거를 제시한 다음 비교 문제를 스스로 1/22로 해결하는지 살피면, 계산 결과와 판단 근거를 함께 확인할 수 있습니다.