관저동 고3수학과외

끝점에서 멈춘 기울기를 다시 확인한 풀이

관저동 생활권의 도서관에서 기출 미분 문항을 복기하던 학생은 함수의 그래프보다 먼저 식을 세우려 했다. 문제는 f(x)=x²-4x+3이 구간 1≤x≤4에서 주어졌을 때, 접선의 기울기가 0이 되는 점과 구간에서의 변화를 판단하는 내용이었다. 학생은 곧바로 f′(x)=2x-4를 구하고 x=2를 찾았다. 여기까지는 맞았지만, 끝점 1과 4를 후보에서 제외한 채 “미분계수가 0인 곳이 결론을 결정한다”고 적었다.

일반식이 끝점까지 책임지지는 않는다

오류가 시작된 곳은 계산이 아니라 적용 범위였다. 학생은 내부점에서 f′(x)=0을 확인하는 규칙을 구간의 양 끝에도 그대로 사용했다. 그러나 x=1과 x=4에서는 정지점 여부와 별개로 함수값을 직접 비교해야 한다. 실제로

f(1)=0, f(2)=-1, f(4)=3

이므로 최솟값은 x=2, 최댓값은 x=4에서 나온다. x=4의 기울기가 0이 아니라는 이유만으로 그 점을 버리면 최대값을 놓친다. 학생은 풀이 첫 줄 옆에 ‘f′=0은 내부 후보, 끝점은 원식 대입’이라고 적고, 일반 구간과 경계 구간을 분리했다. 그 뒤 후보를 원래 함수에 다시 넣어 결론을 확인했다.

관저동과외 수업에서 이 장면을 재현할 때도 정답만 고치지 않고, 어떤 규칙을 어디까지 적용했는지를 표시하게 했다. 기울기 0인 점, 함수값을 비교할 끝점, 그래프의 증가·감소 방향을 각각 다른 칸에 기록하자 계산 순서가 섞이지 않았다.

좌표를 옮겨도 기준점을 복원하는가

다음에는 그래프의 일부만 제시하고, 원점을 옮긴 좌표계에서 곡선을 나타낸 변형을 사용했다. 새 좌표를 u=x-2로 두고 함수가 g(u)=u²-1, 정의역이 -1≤u≤2라고 하자. 학생은 예전 식의 x=2를 기계적으로 가져오지 않고 먼저 u=0을 기준점으로 복원했다. g′(u)=2u이므로 내부의 수평 접선은 u=0, 즉 원래 좌표 x=2이다.

하지만 경계 후보는 u=-1과 u=2다. 값은 g(-1)=0, g(0)=-1, g(2)=3이므로 최댓값은 u=2에서 결정된다. 문제의 표현이 함수식에서 이동된 그래프로 바뀌었어도 ‘접선의 기울기와 끝점의 함수값을 분리한다’는 행동이 남아 있는지 확인한 것이다. 그래프에서 증가 방향을 읽을 때도 기울기 0과 부호 변화는 같은 말이 아니라고 짚었다. g′의 부호는 음수에서 양수로 바뀌지만, 끝점에서는 부호 변화 자체를 조사할 수 없으므로 원식 대입이 필요하다.

힌트 없는 한 문항에서 남은 습관

며칠 뒤에는 함수식 대신 도표와 일부 접선 정보만 주고, 구간 [-2,1]에서 h′(x)=3x²-3의 부호를 판단하게 했다. 학생은 먼저 h′(x)=0에서 x=-1, 1을 찾았지만, x=1이 구간의 끝점이라는 사실을 따로 표시했다. 이어 내부점 x=-1과 두 끝점의 함수값을 원래 조건에 맞춰 비교해야 한다고 설명했다.

특히 조건 하나를 지운 변형에서 “정지점만 찾으면 된다”는 결론이 유지되는지 스스로 반례를 들었다. 끝점의 함수값이 내부 정지점보다 클 수 있으므로, 미분계수의 0 여부만으로 최대·최소를 확정할 수 없다는 것이다. 마지막 검산에서도 잘못된 선택을 지우지 않고 옆에 ‘경계 후보를 누락함’이라고 남겼다. 새로운 표현을 만나도 먼저 정의역의 끝을 표시하고, 내부의 기울기 후보와 끝점의 원식 대입을 분리하는 절차가 힌트 없이 이어졌다.