관저동 중2수학과외

부등호 방향이 바뀌는 순간을 놓치지 않도록

관저동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 범위를 수직선에 나타내는 문제를 풀고 있었다. 관저동중2수학과외를 진행하며 살펴본 문제는 다음과 같았다.

−3x＋5≤14일 때 x의 범위를 구하고 수직선에 나타내시오.

학생은 먼저 양변에서 5를 빼서 −3x≤9라고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 다음 줄에 양변을 −3으로 나누면서 x≤−3이라고 썼다. 수직선에는 −3에 색칠한 점을 찍고 왼쪽을 표시했다. 답을 다시 읽던 학생은 −3을 원래 식에 대입해 −3×(−3)＋5=14가 된다는 점은 확인했지만, −4를 넣으면 17이 되어 14 이하가 아니고 −2를 넣으면 11이 되어 조건을 만족한다는 사실에서 표시 방향이 이상하다고 말했다.

결과보다 먼저 확인한 한 줄

이때 처음 어긋난 판단은 계산 결과가 아니라, 음수로 나눌 때 부등호의 방향을 그대로 둔 것이었다. 양변을 −3으로 나누면 수의 대소 관계가 반대가 되므로 −3x≤9는 x≥−3이어야 한다. 학생이 놓친 것은 이항 자체가 아니었다. 5를 옮긴 과정은 유지하고, 음수로 나누는 바로 그 한 줄만 고쳤다.

학생은 해당 줄의 나눗셈 기호 옆에 작은 화살표를 그려 방향이 바뀐다는 표시를 남겼다.

−3x≤9
양변을 −3으로 나눔 → x≥−3

그다음 경계값 −3을 원래 부등식에 넣었다. 등호가 포함된 식이므로 −3을 대입했을 때 14≤14가 성립한다. 이번에는 경계의 오른쪽에 있는 −2도 대입해 11≤14가 맞고, 왼쪽의 −4는 17≤14가 거짓임을 확인했다. 따라서 수직선에서는 −3에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 칠해야 한다는 것까지 식과 그림을 대응시켰다.

식의 모양이 달라져도 같은 판단을 세우기

같은 유형의 숫자만 바꾸지 않고, 조건의 위치와 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했다.

어떤 수 y에 대하여 12보다 크지 않다는 조건을 만족하는 y를 구하시오. 단, y는 −2t＋4로 나타낼 수 있다.

학생은 먼저 문장을 식으로 바꾸어 −2t＋4≤12라고 적었다. 양변에서 4를 빼 −2t≤8을 만들고, 이번에는 −2로 나누기 전에 식 아래에 “음수 나눗셈”이라고 표시했다. 부등호를 뒤집어 t≥−4를 얻었다. 첫 문제처럼 식이 바로 주어진 것이 아니라 문장에서 조건을 읽어야 했지만, 경계가 −4라는 점과 그 오른쪽 범위라는 점을 스스로 연결했다.

또 다른 표현으로는 수직선에 −4가 닫힌 점으로 표시되고 오른쪽으로 이어진 그림을 보여 주었다. 학생은 이를 보고 “t의 범위는 −4 이상이므로 t≥−4이다”라고 식으로 되돌려 썼다. 그림에서 식으로, 식에서 문장으로 방향을 바꾸어도 음수로 나눌 때 부등호가 반대가 된다는 판단은 같았다.

힌트 없이 확인한 최종 풀이

수업 끝에 학생은 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 풀었다.

7−4x>−9일 때 x의 범위를 구하고, 해가 되는 수와 되지 않는 수를 각각 하나씩 제시하시오.

학생은 먼저 양변에서 7을 빼 −4x>−16을 만들었다. 그리고 “−4로 나누므로 부등호를 바꾼다”고 직접 말하며 x<4를 적었다. 경계값 4를 원래 식에 넣으면 7−16=−9가 되어 엄격한 부등식 −9>−9는 성립하지 않으므로 4는 포함하지 않는다고 설명했다. 해가 되는 수로 3을 넣어 7−12=−5이고 −5>−9이므로 맞다고 확인했으며, 해가 되지 않는 수로 5를 넣어 7−20=−13이므로 조건을 만족하지 않는다고 검산했다.

학생은 마지막으로 수직선에 4를 빈 점으로 표시하고 왼쪽을 칠했다. “음수로 나누는 순간 방향을 바꾸고, 등호가 있는지 없는지에 따라 경계점을 닫거나 열어야 한다. 경계값을 원래 식에 넣으면 방향과 포함 여부를 함께 확인할 수 있다”고 스스로 풀이 근거를 정리했다. 관저동 생활권의 대전구봉중학교가 포함된 학습 환경에서도 이런 식의 짧은 판단과 검산을 반복하면, 식의 모양이 바뀐 부등식에서도 같은 기준을 재현할 수 있다.