관저동 중1수학과외

괄호 앞의 부호를 놓친 일차식 정리

관저동의 원앙마을2단지와 구봉마을8-1단지가 있는 생활권, 그리고 대전관저중학교가 포함된 생활권에서 진행한 중1 수학 풀이에서는 괄호가 있는 일차식의 정리가 중심이 되었다. 학생은 다음 식을 보고 풀이를 시작했다.

3x－(2x－5)＋4

학생은 괄호를 먼저 없애면서 공책에 3x－2x－5＋4라고 적었다. 이어서 문자항끼리 묶어 x－1을 얻었다. 계산 과정은 빠르고 항도 모아 썼지만, 괄호 앞의 마이너스가 괄호 안 모든 항의 부호에 영향을 준다는 점을 확인하지 않은 채 정리를 시작한 것이 첫 번째 어긋남이었다.

한 줄의 부호를 다시 확인하다

풀이를 되돌릴 때 답부터 고치지 않고 학생이 적은 첫 줄 바로 앞에 표시를 덧붙였다. 괄호 앞의 기호가 ‘－’이므로 괄호 안의 ＋2x는 －2x가 되고, －5는 ＋5로 바뀐다고 적었다.

따라서 식은 다음처럼 정리된다.

3x－(2x－5)＋4
= 3x－2x＋5＋4
= x＋9

여기서 3x와 －2x는 문자와 차수가 같은 항이므로 한데 모을 수 있지만, ＋5와 ＋4는 상수항끼리 계산해야 한다고 표시했다. 괄호를 없앤 뒤에도 항의 종류와 부호를 각각 확인하자, 이전 풀이에서 왜 x－1이 나왔는지 역으로 설명할 수 있었다.

괄호 앞이 마이너스이면 괄호 안 항의 부호를 모두 바꾼 뒤, 같은 종류의 항만 계산한다.

식의 모양을 바꾸어 같은 판단을 확인하기

다음 문제에서는 식을 바로 제시하지 않고 문장으로 조건을 바꾸었다.

“어떤 수를 x라 할 때, 그 수의 세 배에서 ‘그 수의 두 배보다 5 작은 수’를 뺀 뒤 4를 더한 식을 간단히 하시오.”

학생은 문장을 먼저 식으로 옮겨 3x－(2x－5)＋4라고 썼다. 이전처럼 괄호 앞에 마이너스가 있다는 점을 동그라미로 표시한 뒤 3x－2x＋5＋4로 바꾸었다. 이번에는 항의 순서를 바꾸어 5＋4＋3x－2x로 놓고 계산했지만, 상수항과 문자항을 섞어 계산하지 않고 9＋x로 정리했다. 항의 배열은 달라도 결과가 x＋9와 같다는 점을 확인했다.

또 다른 표현에서는 정리된 식 x＋9를 보고 원래 괄호식으로 되돌렸다. 학생은 “x 앞의 계수는 1이고 상수항은 9”라고만 적지 않고, 원식에서 괄호를 풀었을 때 3x－2x가 남아 x가 되며, ＋5＋4가 9가 된다는 근거를 한 줄로 설명했다.

경계에 있는 부호를 직접 대입해 점검하기

부호 판단이 필요한 식에서는 간단한 수를 하나 정해 원래 식과 정리한 식을 비교했다. x=1을 대입하면 원래 식은

3×1－(2×1－5)＋4
= 3－(2－5)＋4
= 3－(－3)＋4
= 10

정리한 식 x＋9에도 1을 넣으면 1＋9=10이다. 괄호 안 결과가 음수가 되는 경우에도 괄호 앞의 마이너스가 그 값을 다시 바꾼다는 사실을 수치로 확인했다. 학생은 “괄호 안의 항 하나만 바꾸는 것이 아니라 괄호 안에 있는 모든 항의 부호를 바꿔야 하므로 두 식의 값이 같다”고 적었다.

도움 없이 다시 세운 풀이

관저동과외 수업의 끝에는 새로운 식 5x－(3x＋2)－6을 제시하고 별도의 부호 표시나 풀이 순서를 알려 주지 않았다. 학생은 먼저 괄호 앞의 기호가 마이너스임을 확인하고, 괄호 안의 ＋3x를 －3x로, ＋2를 －2로 바꾸었다.

5x－3x－2－6
= 2x－8

학생은 “5x와 －3x는 같은 문자항이라 2x가 되고, －2와 －6은 상수항이라 －8이 된다”고 설명했다. 이어 x=4를 대입해 원래 식은 20－(12＋2)－6=2, 정리한 식은 8－8=0이라고 계산했다. 값이 다르다는 것을 발견한 학생은 원식의 괄호 안을 3×4＋2=14로 계산한 뒤 20－14－6=0으로 다시 확인했다. 두 표현이 모두 0이므로 정리가 맞다는 검산 근거까지 스스로 완성했다.

이처럼 관저동중1수학과외에서는 괄호 앞 부호를 먼저 판단하고, 항의 종류를 나눈 뒤, 다른 표현과 간단한 값의 대입으로 같은 식인지 확인하는 과정을 한 사건 안에서 이어서 점검했다.