대동 중등수학과외

대동중등수학과외, 두 직선의 교점 (2,10)을 원래 식에 대입해 확인하기

일차함수의 교점을 구할 때 x값만 맞추고 끝내면, 교점이 왜 두 직선의 공통 해인지 설명이 비어 있을 수 있습니다. 이번 문제는 y=x+8과 y=-x+12의 교점을 구하는 것으로, 두 직선이 만나는 한 점에서는 x좌표와 y좌표가 모두 같다는 조건이 답을 결정합니다. 계산 결과 (2,10)을 맞혔더라도 10이 두 식에서 모두 나오는지까지 확인해야 순서쌍의 의미가 분명해집니다.

두 식의 y값을 같게 놓는 이유

교점은 그래프 위의 한 점을 두 직선이 함께 지나는 자리입니다. 따라서 그 점의 x좌표를 어느 식에 넣어도 같은 y좌표가 나와야 합니다. y=x+8과 y=-x+12에서 y끼리 같게 놓으면 x+8=-x+12입니다. 양변에 x를 더하고 8을 빼면 2x=4, 따라서 x=2입니다. 여기서 x=2는 교점의 가로 위치일 뿐, 아직 교점 전체를 쓴 것은 아닙니다. y=x+8에 대입하면 y=2+8=10이고, 교점은 (2,10)입니다. 다른 식에도 넣어 y=-2+12=10이 되므로, y좌표 10 역시 두 직선에서 같은 값입니다. 풀이 기록에는 ‘x+8=-x+12’ 옆에 ‘같은 x에서 두 직선의 y값이 같음’이라고 표시해 두면 식을 세운 근거가 드러납니다.

맞힌 답에서 확인할 두 번째 줄

대동중등수학과외에서는 정답만 다시 말하게 하기보다, x를 구한 뒤 쓴 y 계산 줄을 따로 살펴볼 수 있습니다. 예를 들어 (2,10)이라고 적었는데 10을 어느 식에서 얻었는지 빠졌다면, “교점의 y좌표도 두 직선에서 같은가요?”라고 짧게 묻고 학생이 식이나 그래프로 관계를 복원하도록 합니다. 필요한 수정은 답을 (2,10)에서 다른 값으로 바꾸는 일이 아니라, (2,10)을 각각의 원래 식에 넣어 확인하는 것입니다. 첫째 식에서는 10=2+8, 둘째 식에서는 10=-2+12가 성립합니다. 왼쪽의 10은 점의 y좌표이고, 오른쪽 계산값도 모두 10이므로 이 점은 두 직선 위에 함께 있습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 두 직선 위에 같은 점을 표시하고 두 식에 대입한 등식을 적어도 같은 근거가 됩니다.

두 번째 직선을 바꾼 비교 문제의 판단

이제 첫째 직선 y=x+8은 그대로 두고, 둘째 직선만 y=-x+14로 바꿉니다. 상수항이 12에서 14로 달라졌으므로 앞의 x=2와 y=10을 그대로 가져오지 않습니다. 새 교점에서는 x+8=-x+14이므로 2x=6, x=3입니다. y=x+8에 대입해 y=11을 구하여 교점은 (3,11)입니다. 검산도 두 식으로 합니다. 11=3+8, 11=-3+14가 모두 성립하므로 (3,11)은 공통 해입니다. 다음 확인에서는 정답을 먼저 알려 주지 않고 이 비교 문제를 스스로 풀게 한 뒤, 두 번째 직선이 위로 2만큼 바뀌었을 때 왜 교점의 좌표를 새로 계산해야 하는지 묻습니다. 두 식을 같게 놓은 이유와 두 원래 식에 대입한 결과를 함께 제시할 수 있는지를 기준으로, 계산 절차와 교점의 의미가 연결되었는지 살펴봅니다.