대동 고2수학과외







한 식에서 드러난 분산 계산의 순서
학생은 분산을 다음처럼 적었다.
Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
공식은 맞았지만, 조건표를 만든 뒤 두 항을 같은 중간값으로 처리한 흔적이 남아 있었다. 제곱한 뒤 평균을 구하는 과정과 평균을 구한 뒤 제곱하는 과정은 서로 다르다.
분포표부터 다시 계산하기
| X | 확률 P(X) | X² | X²P(X) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.2 | 1 | 0.2 |
| 2 | 0.5 | 4 | 2.0 |
| 3 | 0.3 | 9 | 2.7 |
먼저 평균은 E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 2.1이다.
따라서 [E(X)]² = 2.1² = 4.41이다.
한편 E(X²) = 1²×0.2 + 2²×0.5 + 3²×0.3 = 4.9이다.
두 항을 분리한 최종 확인
분산과 표준편차
분산은 Var(X) = 4.9 − 4.41 = 0.49이다.
표준편차는 √0.49 = 0.7이다. 따라서 답은 분산 0.49, 표준편차 0.7이다.
잘못된 풀이를 찾는 기준
E(X²)는 각 값의 제곱을 확률로 가중한 뒤 더한 값이고, [E(X)]²는 평균을 먼저 구한 다음 제곱한 값이다. 그러므로 E(X²)와 [E(X)]²를 하나의 동일한 값으로 처리하거나 계산 순서를 뒤바꾼 풀이는 잘못이다.
이처럼 대동과외에서는 공식 암기보다 두 항의 계산 순서를 분포표와 함께 대조하며 검증하는 연습을 할 수 있다.