송촌동 중3수학과외
송촌동 중3수학과외에서 확인한 인수분해의 첫 판단
송촌동과외 수업에서 인수분해 문제를 풀 때, 계산보다 먼저 식의 형태를 분류하는 장면을 살펴보았습니다. 송촌도서관 인근 생활권이나 선비마을3단지가 있는 생활권에서 공부하는 학생이라면 비슷한 풀이 기록을 남길 수 있습니다. 이번 사례는 대전송촌중학교가 포함된 생활권의 중3수학 학습에서 다룬 한 문제입니다.
식에 손을 대기 전, 무엇을 확인했는가
문제는 다음과 같았습니다.
6x²＋7x＋2를 인수분해하시오.
학생은 식 옆에 다음처럼 적었습니다.
- 항은 세 개이므로 두 괄호의 곱을 생각한다.
- 앞의 계수와 뒤의 상수를 곱하면 12이다.
- 12를 만드는 수는 6과 2이므로 (6x＋1)(x＋2)를 쓴다.
학생은 공통인수가 있는지 잠시 살폈지만 6, 7, 2의 공통인수가 없다는 점은 맞게 기록했습니다. 또 두 괄호의 상수항을 곱해 2가 되어야 한다는 조건도 확인했습니다. 그러나 중간항의 계수 7이 만들어지는지는 확인하지 않은 채 바로 인수를 선택했습니다.
틀어진 지점은 계산 뒤가 아니라 선택 순간이었다
(6x＋1)(x＋2)를 전개하면 6x²＋13x＋2가 됩니다. 이 전개 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 살펴볼 부분은 인수 선택의 기준입니다. 이 식은 공통인수를 먼저 묶는 형태가 아니며, 세 항으로 된 식에서 두 이항식의 곱을 찾는 경우입니다. 따라서 선택한 두 수는 단순히 곱이 12인 것만으로 부족합니다. 가운데 항을 만들기 위해 곱이 12이고 합이 7인 두 수여야 합니다.
최초의 오류는 곱 조건 하나만 맞는 인수를 선택한 것입니다. 전개 계산 자체를 시작하기 전에 이미 판단이 어긋났습니다.
조건을 두 줄로 나누어 다시 선택하기
교정에서는 풀이 전체를 바꾸지 않고, 인수를 고르는 행동 하나만 수정했습니다. 학생은 다음과 같이 조건을 나누어 적었습니다.
- 두 수의 곱: 6×2＝12
- 두 수의 합: 7
12의 인수쌍 중 합이 7인 수는 3과 4입니다. 따라서 가운데 항을 3x와 4x로 나누어
6x²＋7x＋2＝6x²＋3x＋4x＋2
로 적었습니다. 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 묶으면
＝3x(2x＋1)＋2(2x＋1)
＝(3x＋2)(2x＋1)
입니다. 처음에 맞게 확인했던 ‘공통인수가 없는 식’이라는 분류는 그대로 두고, 빠졌던 합 조건만 보완했습니다. 실제로 전개하면 6x²＋3x＋4x＋2＝6x²＋7x＋2가 되어 원식과 일치합니다.
모양과 부호가 달라진 식에서 다시 판단하기
같은 기준을 다른 모양에 적용했습니다.
－3x²＋11x－6을 인수분해하시오.
이번에는 첫항의 부호가 음수이고, 세 항 모두에 공통으로 묶을 수 있는 수가 없습니다. 학생은 먼저 마이너스를 밖으로 빼면 안쪽 식이 3x²－11x＋6이 된다는 점을 표시했습니다. 안쪽에서 필요한 두 수는 곱이 18이고 합이 －11이어야 하므로 －9와 －2를 선택했습니다.
따라서
－3x²＋11x－6
＝－(3x²－9x－2x＋6)
＝－{3x(x－3)－2(x－3)}
＝－(3x－2)(x－3)
로 정리했습니다. 여기서는 계수와 부호의 위치가 달라졌지만, 공통인수 여부를 먼저 보고 두 수의 곱과 합을 함께 확인한다는 같은 분류 기준을 사용했습니다.
힌트 없이 기준을 설명한 마지막 풀이
며칠 뒤 송촌동중3수학과외 문제로 다음 식을 별도의 안내 없이 제시했습니다.
4x²－4x－15를 인수분해하시오.
학생은 “공통인수가 없고 세 항의 곱셈 형태이므로, 두 수의 곱은 4×(－15)＝－60, 합은 가운데 계수인 －4가 되어야 한다”고 먼저 설명했습니다. 곱이 －60이고 합이 －4인 수로 6과 －10을 고른 뒤,
4x²＋6x－10x－15
＝2x(2x＋3)－5(2x＋3)
＝(2x－5)(2x＋3)
을 얻었습니다. 마지막에는 두 괄호를 다시 전개하여 4x²＋6x－10x－15＝4x²－4x－15임을 확인했습니다. 이제는 곱 하나만 보고 인수를 고르지 않고, 식의 형태와 공통인수 여부를 본 뒤 곱·합·부호 조건을 모두 설명하며 검증할 수 있었습니다.