LearnMap

송촌동 고등수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

송촌동고등수학과외에서는 경우의 수를 많이 세는 것보다, 사건을 센 기준과 확률의 분모가 같은 표본공간을 가리키는지 확인하는 연습을 중시합니다. 대전송촌고등학교 학생이 송촌도서관에서 풀던 문제도 겉으로는 \(P(A)=9/21\)이라는 간단한 형태였지만, 계산보다 먼저 분모의 의미를 따져야 답이 성립하는 상황이었습니다.

9와 21을 세기 전에 확인한 것

문제에는 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공 2개를 동시에 뽑는 상황이 제시되어 있었습니다. 사건 \(A\)는 “빨간 공이 정확히 1개 나오는 경우”였습니다. 학생은 전체 경우를 순서 있게 세어 \(5\times4=20\)이라고 적었다가, 중복을 제거하는 과정에서 일부만 남겨 분모를 21로 바꾸었습니다. 유리한 경우 9도 서로 다른 기준으로 세어진 값이었습니다.

첫 오류는 \(P(A)=9/21\)을 적은 중간 줄에서 나타났습니다. 9는 빨간 공과 파란 공의 조합을 순서 없이 센 수처럼 보이는데, 21은 문제에 없는 방식으로 만든 전체 수였습니다. 학생은 “분자와 분모가 모두 경우의 수이므로 괜찮다”고 판단했지만, 확률의 분모는 사건을 판단하는 전체 표본공간이어야 합니다.

분모를 다시 세는 짧은 교정

공을 동시에 뽑고 공 하나하나가 구별되지 않는다고 보면 전체 표본공간은 조합으로 세어 \(\binom52=10\)입니다. 빨간 공 1개와 파란 공 1개를 고르는 사건의 수는 \(\binom31\binom21=6\)이므로

\(P(A)=\frac{\binom31\binom21}{\binom52}=\frac6{10}=\frac35\)

가 됩니다. 순서를 고려해 세어도 전체는 \(5\cdot4=20\), 유리한 경우는 \(3\cdot2\cdot2=12\)이므로 \(12/20=3/5\)로 같아야 합니다. 학생에게는 전체를 다시 풀게 하기보다, 이미 적은 9와 21 각각이 어떤 표본공간에서 나온 수인지 한 줄씩 옆에 쓰게 했습니다. 기준이 설명되지 않는 숫자는 분모가 될 수 없다는 점을 풀이에 남긴 것입니다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 선택하기

다음에는 공 5개 중 2개를 순서 있게 뽑고, 첫 번째 공은 다시 넣지 않는다는 조건을 추가했습니다. 빨간 공 3개, 파란 공 2개일 때 “첫 번째 또는 두 번째 중 정확히 한 번 빨간 공이 나오는 사건”을 물었습니다. 학생은 이전 풀이를 보지 않고 전체를 \(5\cdot4=20\)으로 잡았습니다. 유리한 순서는 빨강-파랑 \(3\cdot2=6\), 파랑-빨강 \(2\cdot3=6\)이므로 확률은 \(12/20=3/5\)라고 판단했습니다.

여기서 조합식 \(\binom52\)을 그대로 쓰지 않은 이유도 말로 설명하게 했습니다. 새 문제는 첫 번째와 두 번째의 위치를 구별하므로 순서 있는 표본공간을 사용했기 때문입니다. 조건이 바뀌면 분자만 고치는 것이 아니라 전체를 세는 방식도 함께 바뀔 수 있습니다.

마지막에는 원래 조건으로 되돌려 검산하기

검산은 새 문제를 한 번 더 푸는 방식으로 끝내지 않았습니다. 순서 있는 풀이의 결과 \(12/20\)을 순서 없는 풀이의 \(6/10\)과 다시 대조했습니다. 두 값이 모두 \(3/5\)로 약분되는지 확인하고, 사건을 여집합으로 바꾸어도 점검했습니다. 정확히 한 개가 빨간 공인 경우의 여집합은 빨간 공이 0개 또는 2개인 경우입니다. 그 수는 \(\binom20+\binom32=1+3=4\)이므로 \(1-4/10=6/10\)이 됩니다.

이처럼 분모를 정할 때는 숫자의 크기보다 표본공간의 기준을 먼저 적어야 합니다. 송촌권에서 생활하는 학생이 송촌프라자 인근 자습 공간이나 송촌도서관에서 확률 문제를 풀 때도, 계산 결과 옆에 ‘순서 고려 여부’와 ‘전체 경우의 기준’을 짧게 표시하면 \(9/21\)처럼 모양만 그럴듯한 분수를 걸러낼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

확률의 분모는 언제나 전체 경우의 수인가요?

사건을 판단하는 표본공간의 전체 경우의 수여야 합니다. 단순히 많이 센 수를 분모에 놓을 수는 없습니다.

동시에 뽑으면 항상 조합을 사용하나요?

결과에서 순서를 구별하지 않는다면 조합이 편리합니다. 순서를 구별하는 문제라면 순열이나 곱셈 원리를 사용할 수 있습니다.

분자와 분모를 서로 다른 방식으로 세면 안 되나요?

안 됩니다. 순서 고려 여부, 중복 허용 여부, 조건부 표본공간이 같아야 비율이 확률로 해석됩니다.

계산 뒤 가장 빠른 확인 방법은 무엇인가요?

같은 사건을 다른 표본공간에서 다시 세어 비율이 일치하는지 확인하고, 여집합 확률과의 합이 1인지 살펴보면 됩니다.

송촌동 고등수학과외 학부모 후기

프린트해 둔 수업 자료를 보다가 아이가 틀린 문제 전체를 다시 읽는 게 아니라, 계산이 어긋난 두 줄만 손가락으로 짚어 보고 있더라고요. 어디서부터 달라졌는지 찾으려는 듯 그 부분을 한참 들여다봤어요. 예전에는 틀린 문제를 다시 펼치면 처음부터 끝까지 비슷하게 확인하곤 했거든요. 송촌동 수학과외를 알아보던 때와 비교해도, 이번 모습은 보는 범위가 꽤 달라 보였어요. 답을 다시 맞히려는 것보다 계산이 처음 틀어진 지점을 먼저 찾고 있었습니다. 수학 교재를 가방에 넣기 직전에도 같은 식으로 계산이 처음 어긋난 줄부터 살펴봤어요. 그다음 확인할 곳이 정해진 상태에서 책을 정리하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

공부 계획표를 새로 적던 날, 지나가다 아이 책상 위를 보게 됐어요. 문제를 그냥 넘긴 게 아니라 숫자 몇 개를 가려 놓고 같은 문제를 다시 풀고 있더라고요. 답을 외워서 쓰는 건지, 숫자가 달라져도 같은 판단을 할 수 있는지 확인하는 모습처럼 보이더라고요. 예전에는 공부를 마치면 풀이를 한 번 더 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 이미 풀었던 문제를 그대로 두지 않고, 숫자 부분을 가린 뒤 다시 계산해 보고 있었습니다. 송촌동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로 집에서 이런 장면을 보니 조금 낯설기도 했어요. 모의고사 해설을 펼치기 전에도 같은 방식으로 숫자를 가려 문제를 다시 풀었어요. 그리고 확인한 부분을 자료에 따로 남겨 두었더라고요. 해설부터 찾아본 게 아니라 자기 풀이를 먼저 다시 짚어 본 점이 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

송촌동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이의 숙제하는 모습이 조금씩 달라졌습니다. 컨디션이 좋지 않은 날에는 선생님이 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셔서, 답지를 덮고 혼자 다시 풀어보는 시간이 생겼어요. 모르는 부분도 이제는 설명을 다시 부탁하는 일이 자연스러워져 부모로서 반갑게 지켜보고 있습니다.

★★★★★학부모 후기

송촌동에서 수학 과외를 시작했을 때만 해도 저는 모르는 문제를 선생님께 묻는 일이 꽤 어려웠습니다. 수업 중 틀린 문제를 다시 펼쳐 보이면 선생님은 왜 틀렸는지 함께 살피고, 밀린 숙제도 우선순위를 정해 무리 없이 나눠 주셨습니다. 시험기간에는 수업 뒤 복습할 부분이 분명해졌고, 공부를 조금 덜 부담스럽게 받아들이게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 시간을 정해도 아이가 조금만 막히면 금세 지치고 답을 몇 번씩 확인하곤 했습니다. 송촌동에서 수학과외를 시작한 뒤 선생님은 지난 숙제를 함께 보며 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 했고, 이해했는지 살피며 천천히 설명해 주셨습니다. 요즘은 스스로 할 분량을 확인하고 한결 편안한 마음으로 책상에 앉습니다.

★★★★★학부모 후기