송촌동 중1수학과외
문자식의 경계에서 시작한 동류항 판단
송촌동의 선비마을3단지와 송촌도서관이 있는 생활권에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중, 학생이 문자식 정리 문제에서 한 줄을 잘못 적은 장면을 확인했다. 대전매봉중학교와 대전송촌중학교가 포함된 생활권에서 다뤄지는 기본 내용이지만, 항의 종류와 부호를 동시에 살피는 순간 판단이 흔들릴 수 있다. 이번 송촌동과외 수업에서는 계산 속도보다 식의 경계를 읽는 과정을 중심에 두었다.
학생이 실제로 적은 식
문제는 다음 식을 동류항끼리 정리하는 것이었다.
3a - 2 + 5a + 7 - a
학생은 먼저 밑줄을 그어 숫자만 따로 표시하고, 문자 a가 있는 항에도 동그라미를 쳤다. 그런데 괄호나 연산 기호가 없는 식을 왼쪽부터 읽으면서 3a-2를 하나의 덩어리처럼 묶었다. 이어서 5a와 a를 더해 6a를 만들고, 숫자 부분은 -2+7=5로 계산해 최종적으로 3a-2+6a+5라고 적었다.
식의 끝까지 계산하지 못한 것이 첫 문제는 아니었다. 풀이가 어긋나기 시작한 최초의 판단은 뺄셈 기호 뒤의 2까지 앞 항과 붙여 본 것이었다. 항은 덧셈과 뺄셈 기호를 기준으로 나뉘며, -2는 독립된 상수항이다. 따라서 3a, -2, 5a, 7, -a를 각각 읽어야 했다.
한 줄을 고쳐 다시 정리하기
학생이 쓴 표시를 모두 지우게 하지 않고, 항 사이의 경계만 다시 세우도록 했다. 식을 다음처럼 세로로 나누어 적었다.
- 문자항: 3a, 5a, -a
- 상수항: -2, 7
그다음 문자 부분이 a로 같은 항만 모았다. 계수와 부호를 빠뜨리지 않도록 3+5-1을 먼저 적어 7을 얻고, 상수항은 -2+7=5로 계산했다. 그러므로 정리한 식은 7a+5이다. 여기서 3a와 5a를 합칠 수 있는 까닭은 문자 부분이 같기 때문이며, -2와 7은 문자가 없는 항이라 서로 묶을 수 있지만 문자항과는 합칠 수 없다는 점을 식 옆에 짧게 기록했다.
문장으로 바뀐 문제에서 같은 기준 사용하기
다음 문제는 숫자만 바꾼 식이 아니라 문장으로 제시되었다.
어떤 수 x의 세 배에서 4를 뺀 뒤, 그 수의 두 배와 9를 더한 식을 간단히 나타내어라.
학생은 문장을 바로 계산하지 않고, ‘어떤 수의 세 배’를 3x, ‘4를 뺀 것’을 -4, ‘그 수의 두 배’를 2x, ‘9를 더한 것’을 9로 바꾸어 3x-4+2x+9를 만들었다. 이번에는 항의 경계를 먼저 표시해 3x, -4, 2x, 9로 나눈 뒤, x가 들어간 항과 상수항을 각각 모았다. 결과는 5x+5였다.
표현이 문장에서 식으로 바뀌었어도 판단 순서는 달라지지 않았다. ‘뺀다’는 말이 앞 항에 붙어 사라지는 것이 아니라 뒤에 오는 수의 부호를 정한다는 점, 그리고 항의 종류를 확인한 뒤에만 같은 종류끼리 계산한다는 이유를 학생 자신의 말로 설명하게 했다.
경계에 값을 넣어 확인한 장면
괄호가 포함된 식도 제시했다.
2x + (3 - x) + 4x
학생은 괄호 안을 하나의 항으로 보지 않고, 괄호 안의 3과 -x가 서로 다른 종류라는 점을 확인했다. 괄호를 풀어 2x+3-x+4x로 바꾼 다음, 문자항은 2x-x+4x, 상수항은 3으로 나누어 5x+3을 얻었다. 앞서 틀렸던 방식처럼 2x와 괄호 전체를 묶지 않은 것이 달라진 부분이다.
검산에서는 x에 1을 넣었다. 원래 식은 2+(3-1)+4=8이고, 정리한 식 5x+3도 5+3=8이었다. x에 -1을 넣었을 때도 원래 식은 -2+(3+1)-4=-2, 정리한 식은 -5+3=-2가 되어 두 표현이 같은 값을 낸다는 것을 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 끝에는 새로운 형태의 문제를 별도 안내 없이 제시했다.
한 변의 길이를 나타내는 문자 y에 대하여, 6y와 2를 더하고 y와 5의 차를 더한 식을 간단히 하여라.
학생은 먼저 식을 6y+2+y-5로 바꾸고, 연산 기호를 기준으로 6y, 2, y, -5를 나누어 적었다. y가 있는 항은 6y+y이므로 7y, 상수항은 2-5이므로 -3이라고 설명했다. 따라서 답은 7y-3이다.
학생은 마지막으로 “항은 기호를 기준으로 나누고, 문자 부분이 같을 때만 동류항으로 묶는다. 뺄셈 뒤의 수는 음수항으로 읽으며, 정리한 뒤에는 원래 식에 간단한 수를 넣어 두 결과를 비교한다”고 풀이 근거를 직접 말했다. 도움 없이 경계를 다시 판단하고 부호까지 검산했으므로, 송촌동중1수학과외에서 다룬 동류항 정리 과정을 새로운 표현에서도 재현한 것으로 확인했다.