매천동 중3수학과외

매천동 중3수학과외, 제곱근 앞에서 부호를 먼저 읽는 연습

매천동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이를 살펴보니, 계산 속도보다 먼저 확인해야 할 한 문장이 눈에 들어왔습니다.

“√(a²)는 a이므로, a=-7일 때 √(a²)=-7이다.”

이 식은 계산 실수로 틀린 것이 아닙니다. 계산을 시작하기 전에 a의 부호를 확인하지 않고 √(a²)의 값을 a로 정한 판단이 먼저 어긋난 것입니다. 제곱한 수의 제곱근을 다시 꺼낼 때는 원래 수의 부호가 그대로 유지되는지 살펴야 합니다.

학생의 풀이 기록에서 보인 첫 선택

문제는 다음과 같았습니다.

문제: a=-7일 때 √(a²)의 값을 구하여라.

학생은 문제에서 a=-7에 밑줄을 긋고 다음처럼 적었습니다.

• a²=(-7)²=49
• √(a²)=√49=-7

첫 줄의 계산은 맞았습니다. (-7)²=49이므로 √49의 값은 7입니다. 그러나 학생은 처음에 머릿속으로 ‘√(a²)=a’라고 정한 뒤, 그 판단에 맞추어 마지막 값을 -7로 썼습니다. 즉, 가장 먼저 고칠 곳은 49의 제곱근을 계산한 뒤에도 원래 수 a의 음수 부호를 그대로 붙인 행동입니다.

부호를 나눈 뒤 같은 계산을 살려 보기

이 문제에서는 계산을 모두 버릴 필요가 없습니다. 이미 확인한 a²=49도 그대로 사용할 수 있습니다. 다만 √(a²)의 값을 결정하기 전에 a의 부호를 한 번 나눠 봅니다.

• a가 양수이면 √(a²)=a
• a=0이면 √(a²)=0
• a가 음수이면 √(a²)=-a

이번에는 a=-7이므로 세 번째 경우입니다. 따라서

√(a²)=√((-7)²)=√49=7=-(-7)=|a|

가 됩니다. 여기서 핵심은 새로운 계산법을 많이 추가하는 것이 아니라, √(a²)를 결정하기 전에 a가 양수인지 0인지 음수인지 확인하는 한 행동입니다. 제곱근 기호의 값은 음수가 될 수 없으므로 √49를 -7로 정할 수 없다는 점도 결과를 확인하는 근거가 됩니다.

표현을 바꾼 연습 문제

다음에는 단순히 a의 값을 바로 제시하지 않고, 조건표에서 부호를 읽어야 하는 문제로 바꾸었습니다.

문제: 다음 조건에 맞는 √(x²)의 값을 각각 쓰시오.

x의 조건	√(x²)
x>0	?
x=0	?
x<0	?

학생은 표의 숫자를 계산하려 하지 않고 먼저 조건의 부호를 표시했습니다. 첫째 줄에서는 x가 양수이므로 √(x²)=x, 둘째 줄에서는 x가 0이므로 √(x²)=0, 셋째 줄에서는 x가 음수이므로 √(x²)=-x라고 적었습니다. 특히 세 번째 줄을 x라고 쓰지 않고 -x로 바꾼 이유를 “x 자체는 음수지만 제곱근의 결과는 음수가 아니어야 하기 때문”이라고 설명했습니다.

이제 조건에 숫자만 대입하지 않고, 식의 형태도 바꾸어 보았습니다.

√((-3b)²)의 값을 b의 부호에 따라 나타내어라.

학생은 먼저 -3b의 부호를 확인했습니다. b>0이면 -3b는 음수이므로 √((-3b)²)=3b이고, b=0이면 결과가 0입니다. b<0이면 -3b가 양수이므로 √((-3b)²)=-3b입니다. 겉모양은 달라졌지만, 제곱하기 전 대상의 부호를 먼저 확인한다는 기준은 그대로 적용되었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 문제

며칠 뒤에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 문제만 제시했습니다.

c=-4일 때 √(c²)+c의 값을 구하고, √(c²)를 그렇게 정한 이유를 쓰시오.

학생은 먼저 c=-4에 동그라미를 치고 “c는 음수”라고 적었습니다. 이어서

√(c²)=|c|=4

라고 판단한 뒤, 원래 계산을 이어서

√(c²)+c=4+(-4)=0

을 얻었습니다. 마지막에는 “c²=16이고 √16은 음수가 될 수 없으므로 √(c²)는 -4가 아니라 4이다. 따라서 결과가 |c|와 같아진다.”라고 검산했습니다.

이처럼 매천동중3수학과외에서 확인할 기준은 복잡하지 않습니다. √(a²)가 보이면 바로 a를 쓰지 않고, 먼저 제곱하기 전 수의 부호를 읽습니다. 그 한 번의 선택이 맞으면 양수·0·음수 조건이 달라져도 같은 개념 안에서 스스로 답을 결정할 수 있습니다.