매천동 중1수학과외
약수의 개수를 세는 판단부터 다시 세운 매천동 중1 수학 풀이
매천동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 “84의 약수의 개수를 구하고, 그중 홀수인 약수의 개수를 구하여라”였다. 대구태전휴먼시아1단지와 화성그랜드파크 도서관 함지원이 있는 생활권의 대구일중학교가 포함된 지역에서 자주 접할 수 있는 유형이지만, 이 문제는 약수를 무작정 나열하는 것보다 수를 곱셈으로 분해하는 과정이 핵심이었다.
답을 적기 전에 이미 빠져 있던 조건
학생은 종이에 다음과 같이 썼다.
84=2×42=2×2×21=2×2×3×7
약수의 개수는 2×2×2=8
여기까지의 소인수분해는 맞았다. 그러나 바로 아래에 “홀수인 약수는 3과 7만 사용하므로 2개”라고 적었다. 약수 1도 포함해야 하고, 3과 7을 사용하지 않는 경우와 각각을 사용하는 경우까지 모두 세어야 하는데, 학생은 문제의 두 번째 조건을 읽으면서 가능한 선택을 일부만 남겼다. 계산 결과가 틀어진 최초의 판단은 곱셈을 잘못한 것이 아니라, 약수에 1이 포함된다는 조건과 각 인수의 선택 가능성을 표시하지 않은 것이었다.
풀이를 지우지 않고, 84를 2²×3×7로 다시 정리했다. 2의 지수는 0, 1, 2 중 하나를 고를 수 있으므로 세 가지이고, 3의 지수는 0 또는 1, 7의 지수도 0 또는 1을 고를 수 있다고 옆에 적었다. 따라서 전체 약수의 개수는 3×2×2=12이다. 홀수인 약수는 2를 선택하지 않는 경우로 한정되므로 3과 7에서 각각 0 또는 1을 고르는 네 가지, 즉 1, 3, 7, 21이 된다.
같은 개념을 표가 아닌 곱셈식으로 만났을 때
다음 문제에서는 수가 소인수분해된 모양이 아니라 “어떤 수가 2×2×2×3×3×5로 나타난다”고 제시되었다. 학생은 곧바로 약수의 개수를 계산하려 했지만, 이번에는 먼저 같은 인수를 묶어 2³×3²×5로 바꾸었다. 그리고 각 인수에서 지수를 몇 가지로 고를 수 있는지 표로 만들었다.
- 2에서는 2⁰, 2¹, 2², 2³의 네 가지
- 3에서는 3⁰, 3¹, 3²의 세 가지
- 5에서는 5⁰, 5¹의 두 가지
그래서 약수의 개수는 4×3×2=24라고 설명했다. 질문을 “약수는 모두 몇 개인가?”에서 “이 수의 약수 중 3의 배수는 몇 개인가?”로 바꾸자, 학생은 조건을 다시 읽고 3의 지수를 1 또는 2로 제한했다. 2는 네 가지, 3은 두 가지, 5는 두 가지이므로 4×2×2=16이라고 적었다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 약수의 조건이 바뀌면 각 인수의 지수 선택도 달라진다는 점을 식으로 적용한 것이다.
조건의 순서가 바뀌어도 이어지는지 확인한 풀이
수업 후 다시 제시한 문제는 “180의 약수 중 10의 배수가 아닌 약수의 개수를 구하여라”였다. 학생은 먼저 180=2²×3²×5로 정리했다. 전체 약수는 3×3×2=18개이다. 10의 배수인 약수는 2와 5를 모두 포함해야 하므로 2의 지수는 1 또는 2, 5의 지수는 반드시 1, 3의 지수는 0·1·2 중 하나이다. 따라서 2×1×3=6개이고, 10의 배수가 아닌 약수는 18-6=12개라고 풀이했다.
이번에는 도움 없이 “180의 약수 중 2의 배수이면서 5의 배수가 아닌 것은?”이라는 질문을 스스로 다시 읽었다. 2의 지수는 1 또는 2, 3의 지수는 세 가지, 5의 지수는 0 하나로 정리하여 2×3×1=6개라고 답했다. 마지막으로 실제 약수 하나를 곱셈 형태로 되돌려 조건을 확인했다. 예를 들어 2²×3×5는 60으로 10의 배수이고, 2×3²은 18로 2의 배수지만 5의 배수는 아니었다.
학생은 끝까지 답만 확인하지 않고, 각 지수의 선택 범위와 원래 수의 조건을 대조했다. 매천동중1수학과외에서 확인한 약수 개수 판단은 결국 “인수를 같은 것끼리 묶고, 각 지수의 선택 수를 곱한 뒤, 문제의 조건에 맞지 않는 선택을 제외하는 과정”으로 재현되었다.