사복동 중등수학과외

사복동중등수학과외, 3·4·4·5·14에서 가장 큰 값이 바뀔 때 중앙값을 확인하는 법

대표값과 자료 해석에서는 가장 큰 수가 달라졌다는 사실만으로 모든 대표값이 함께 변한다고 판단하면 안 됩니다. 예를 들어 자료 3, 4, 4, 5, 14의 평균·중앙값·최빈값을 비교하는 문제에서 가장 큰 값 14를 24로 바꾸는 조건이 주어졌다고 해 보겠습니다. 이때 평균은 자료의 합을 사용하고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 위치를 사용하며, 최빈값은 가장 많이 나온 수를 사용합니다. 따라서 “가장 큰 값이 커졌으니 중앙값도 커진다”는 판단은 가운데 자리가 실제로 바뀌었는지 확인하지 않은 결론입니다. 사복동중등수학과외 수업에서는 세 대표값이 어떤 조건에 반응하는지 같은 자료에서 분리해 살펴보는 과정이 중요합니다.

가장 큰 값과 가운데 값은 같은 기준으로 정해지지 않습니다

기본 자료를 작은 수부터 쓰면 3, 4, 4, 5, 14입니다. 다섯 개의 자료이므로 중앙값은 세 번째 자리의 수이고, 그 값은 4입니다. 가장 많이 나온 수도 4가 두 번이므로 최빈값은 4입니다. 평균은 다섯 수의 합을 자료 수 5로 나누어 구합니다. (3+4+4+5+14)÷5=30÷5=6이므로 평균은 6입니다. 즉 기본 과제의 대표값은 평균 6, 중앙값 4, 최빈값 4입니다. 평균 6은 ‘가운데에 있는 실제 자료’가 아니라 전체 합 30을 다섯 자료에 고르게 나눈 값이라는 뜻도 함께 짚어야 합니다.

교정할 때에는 정렬 자료띠에 3 | 4 | 4 | 5 | 14를 적고 세 번째 4에 표시합니다. 이어 “자료를 정렬했을 때 가운데 자리는 바뀌었나요?”라고 묻습니다. 이 질문은 답을 외우게 하기보다 중앙값의 결정 조건을 보게 합니다. 가장 큰 값이 있다는 사실과 세 번째 자리가 달라졌다는 사실은 서로 다릅니다. 만약 14가 커졌다는 정보만 보고 중앙값도 증가한다고 썼다면, 14와 가운데의 4를 각각 표시해 어느 자리가 중앙값을 결정하는지 수정합니다.

14를 24로 바꾸면 평균만 8로 변하는 이유

비교 자료는 3, 4, 4, 5, 24입니다. 바뀐 것은 마지막 자리의 14가 24가 된 한 항뿐이며, 정렬 순서와 세 번째 자리는 그대로입니다. 따라서 중앙값은 여전히 세 번째 수 4이고, 가장 많이 나온 수 역시 4이므로 최빈값도 4입니다. 반면 합은 30에서 10 증가하여 40이 됩니다. 평균은 40÷5=8이므로 8입니다. 평균이 6에서 8로 2만큼 증가한 까닭은 합의 변화량 10을 자료 수 5로 나누어 반영하기 때문입니다. 즉 10÷5=2입니다.

여기서 비교표에는 ‘합: 30→40’, ‘가운데 자리: 세 번째 4→세 번째 4’, ‘4의 횟수: 2회→2회’를 나란히 적을 수 있습니다. 이렇게 적으면 극단값의 변화가 평균에는 합의 변화로 연결되지만, 중앙값에는 가운데 위치가 유지되는 한 직접 영향을 주지 않는다는 관계가 드러납니다. 평균 8, 중앙값 4, 최빈값 4이라는 결과는 각각 다른 계산 근거에서 나온 값입니다.

수정한 식을 남기고 도움 없이 조건을 다시 적용합니다

풀이를 고칠 때에는 처음 쓴 판단을 지우기보다 “14가 24가 되었으므로 중앙값도 커진다”라는 줄 옆에 ‘중앙값은 정렬한 다섯 자료의 세 번째 자리’라고 수정 이유를 남깁니다. 그 뒤 3, 4, 4, 5, 24를 보고 합 40, 세 번째 수 4, 가장 잦은 수 4를 각각 직접 확인하게 합니다. 평균의 검산은 8×5=40으로 평균과 자료의 합이 맞는지 보는 방식이 적절합니다. 중앙값과 최빈값은 계산식 대신 정렬 순서와 4가 나온 횟수 두 번을 다시 확인합니다.

다음 확인에서는 먼저 힌트를 주지 않고 같은 비교 자료를 스스로 정렬해 대표값을 쓰게 합니다. 이후 “가운데 자리는 바뀌었나요?”, “평균은 합의 변화량을 몇으로 나누어 반영하나요?”에 각각 세 번째 자리 4와 10÷5라는 근거를 붙일 수 있는지 봅니다. 한 번의 반응만으로 혼동의 원인을 단정하기보다, 평균 8과 중앙값·최빈값 4를 구분한 식과 표시가 이어지는지 확인하는 것이 다음 학습으로 넘어갈 기준이 됩니다.