사복동 중3수학과외

사복동 생활권에서 확인한 동류근 뺄셈의 기준

대구신서혁신LH천년나무10단지와 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권을 참고해 수업 장소를 정했지만, 이날의 초점은 오직 근호가 같은 항끼리만 뺄셈하기였다. 사복동중3수학과외에서 자주 만나는 실수도 바로 이 판단에서 시작된다.

처음 종이에 남은 계산

문제는 다음과 같았다.

5√3 - 2√7 - √3 + 4√7을 간단히 하시오.

학생은 식을 읽으며 계수에 동그라미를 쳤다. 이어서 √3과 √7의 모양은 비교하지 않고, 앞의 수만 보며 다음처럼 적었다.

(5-2-1+4)√3 = 6√3

학생은 “계수끼리 계산하면 되니까 6√3”이라고 말했다. 계산 자체는 5-2-1+4=6으로 맞았지만, 이 결과가 틀어진 시점은 계산을 마친 뒤가 아니었다. 처음에 각 항의 근호 부분을 확인하지 않고, 모든 계수를 하나의 무리수 항처럼 묶은 순간 이미 기준에서 벗어났다.

한 줄의 표시만 바꾸기

풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 잘못된 판단과 직접 이어지는 행동 하나만 고쳤다. 각 항에서 계수와 근호 부분을 분리해 적고, 근호 부분이 완전히 같은 항에만 같은 표시를 하도록 했다.

• 5√3, -√3 → 근호 부분이 √3으로 같음
• -2√7, 4√7 → 근호 부분이 √7로 같음

따라서 식의 순서를 바꾸어 묶으면

(5√3-√3)+(-2√7+4√7)

가 된다. 같은 근호를 가진 항에서는 계수만 계산할 수 있으므로

(5-1)√3+(-2+4)√7=4√3+2√7

이다. √3과 √7은 서로 다르므로 두 항을 다시 하나의 계수로 합치지 않는다. 학생은 “계수 계산 전에 근호 부분을 먼저 짝짓는다”라고 자신의 판단 기준을 짧게 적었다. 이미 맞았던 정수 계산은 그대로 두고, 계산 대상의 선택만 바로잡은 셈이다.

표현을 바꾼 두 번째 시도

같은 원리를 숫자만 바꾼 식에 반복하지 않기 위해, 이번에는 두 묶음의 차를 비교하는 문제를 제시했다.

(3√5-2√2) - (√5-5√2)의 값을 구하시오.

학생은 먼저 괄호 안 항을 그대로 나열했다.

3√5, -2√2, -√5, +5√2

이번에는 √5인 항에 밑줄 하나, √2인 항에 밑줄 두 개를 그었다. 괄호 앞의 마이너스 때문에 뒤 묶음의 부호가 바뀐다는 점은 식을 나열하는 과정에서 반영했다. 같은 근호끼리만 모아

(3√5-√5)+(-2√2+5√2)=2√5+3√2

라고 정리했다. 앞 문제처럼 항이 한 줄에 섞여 있지 않고, 뺄셈이 괄호 밖에 놓인 형태였지만 학생은 먼저 근호 부분을 확인한 뒤 계수를 계산했다. √5와 √2를 한 항으로 만들지 않은 것도 같은 기준을 지킨 결과다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

일주일 뒤에는 유형명이나 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 문제만 제시했다.

어떤 식 A=7√6-3√10+2√6, B=4√10-√6일 때 A-B를 간단히 하시오.

학생은 먼저 A-B를 펼쳐

7√6-3√10+2√6-4√10+√6

라고 적었다. 그런 다음 √6 항은 7, 2, 1의 계수를 갖고, √10 항은 -3, -4의 계수를 갖는다고 설명했다.

(7+2+1)√6+(-3-4)√10=10√6-7√10

학생은 답만 제출하지 않고 “정리 전에는 √6과 √10 두 종류가 있었고, 정리 후에도 각각 한 항씩 남았다. 서로 다른 근호를 합치지 않았으므로 근호 종류가 갑자기 하나로 줄지 않았다”라고 검산 근거를 말했다. 새 식에서도 먼저 같은 근호를 찾고, 그 안에서만 계수를 계산하는 판단을 스스로 재현했다.