사복동 중3수학과외
사복동 생활권에서 확인한 동류근 뺄셈의 기준
사복동과외 수업에서 새론중학교가 포함된 생활권의 중3 학생과 제곱근 식을 풀었다. 대구신서혁신LH천년나무10단지와 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권을 참고해 수업 장소를 정했지만, 이날의 초점은 오직 근호가 같은 항끼리만 뺄셈하기였다. 사복동중3수학과외에서 자주 만나는 실수도 바로 이 판단에서 시작된다.
처음 종이에 남은 계산
문제는 다음과 같았다.
5√3 - 2√7 - √3 + 4√7을 간단히 하시오.
학생은 식을 읽으며 계수에 동그라미를 쳤다. 이어서 √3과 √7의 모양은 비교하지 않고, 앞의 수만 보며 다음처럼 적었다.
(5-2-1+4)√3 = 6√3
학생은 “계수끼리 계산하면 되니까 6√3”이라고 말했다. 계산 자체는 5-2-1+4=6으로 맞았지만, 이 결과가 틀어진 시점은 계산을 마친 뒤가 아니었다. 처음에 각 항의 근호 부분을 확인하지 않고, 모든 계수를 하나의 무리수 항처럼 묶은 순간 이미 기준에서 벗어났다.
한 줄의 표시만 바꾸기
풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 잘못된 판단과 직접 이어지는 행동 하나만 고쳤다. 각 항에서 계수와 근호 부분을 분리해 적고, 근호 부분이 완전히 같은 항에만 같은 표시를 하도록 했다.
- 5√3, -√3 → 근호 부분이 √3으로 같음
- -2√7, 4√7 → 근호 부분이 √7로 같음
따라서 식의 순서를 바꾸어 묶으면
(5√3-√3)+(-2√7+4√7)
가 된다. 같은 근호를 가진 항에서는 계수만 계산할 수 있으므로
(5-1)√3+(-2+4)√7=4√3+2√7
이다. √3과 √7은 서로 다르므로 두 항을 다시 하나의 계수로 합치지 않는다. 학생은 “계수 계산 전에 근호 부분을 먼저 짝짓는다”라고 자신의 판단 기준을 짧게 적었다. 이미 맞았던 정수 계산은 그대로 두고, 계산 대상의 선택만 바로잡은 셈이다.
표현을 바꾼 두 번째 시도
같은 원리를 숫자만 바꾼 식에 반복하지 않기 위해, 이번에는 두 묶음의 차를 비교하는 문제를 제시했다.
(3√5-2√2) - (√5-5√2)의 값을 구하시오.
학생은 먼저 괄호 안 항을 그대로 나열했다.
3√5, -2√2, -√5, +5√2
이번에는 √5인 항에 밑줄 하나, √2인 항에 밑줄 두 개를 그었다. 괄호 앞의 마이너스 때문에 뒤 묶음의 부호가 바뀐다는 점은 식을 나열하는 과정에서 반영했다. 같은 근호끼리만 모아
(3√5-√5)+(-2√2+5√2)=2√5+3√2
라고 정리했다. 앞 문제처럼 항이 한 줄에 섞여 있지 않고, 뺄셈이 괄호 밖에 놓인 형태였지만 학생은 먼저 근호 부분을 확인한 뒤 계수를 계산했다. √5와 √2를 한 항으로 만들지 않은 것도 같은 기준을 지킨 결과다.
힌트 없이 다시 확인한 풀이
일주일 뒤에는 유형명이나 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 문제만 제시했다.
어떤 식 A=7√6-3√10+2√6, B=4√10-√6일 때 A-B를 간단히 하시오.
학생은 먼저 A-B를 펼쳐
7√6-3√10+2√6-4√10+√6
라고 적었다. 그런 다음 √6 항은 7, 2, 1의 계수를 갖고, √10 항은 -3, -4의 계수를 갖는다고 설명했다.
(7+2+1)√6+(-3-4)√10=10√6-7√10
학생은 답만 제출하지 않고 “정리 전에는 √6과 √10 두 종류가 있었고, 정리 후에도 각각 한 항씩 남았다. 서로 다른 근호를 합치지 않았으므로 근호 종류가 갑자기 하나로 줄지 않았다”라고 검산 근거를 말했다. 새 식에서도 먼저 같은 근호를 찾고, 그 안에서만 계수를 계산하는 판단을 스스로 재현했다.