미분계수, 평균변화율에서 순간변화율로 좁혀 가는 의미
사복동에서 미분계수 문제를 풀던 학생은 두 점의 좌표를 적은 뒤 변화율을 계산했지만, 분자와 분모를 뒤집어 결과의 부호와 크기를 모두 바꾸었다. 이 기록을 출발점으로 평균변화율과 순간변화율의 연결을 다시 확인했다.
오류가 시작된 계산
함수 f(x)=x²에서 x=1과 x=1+h 사이의 평균변화율을 구하면
Δx=(1+h)-1=h
Δy=f(1+h)-f(1)=(1+h)²-1=2h+h²
따라서 평균변화율은
Δy/Δx=(2h+h²)/h=2+h입니다. 학생은 이를 h/(2h+h²)로 계산했는데, 변화율은 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이므로 분자와 분모를 바꿀 수 없습니다.
두 점 사이의 기울기
| 구분 | 값 |
|---|---|
| 가로 변화량 | Δx=h |
| 세로 변화량 | Δy=2h+h² |
| 평균변화율 | (2h+h²)/h=2+h |
간격을 줄이면 순간기울기가 된다
두 점을 점점 가깝게 만들기 위해 h를 0에 가깝게 하면 평균변화율은 다음과 같이 변한다.
limh→0 {f(1+h)-f(1) \over h}
=limh→0(2+h)=2
이는 두 점을 실제로 겹쳐 놓고 나누는 것이 아니라, 두 점 사이의 간격을 0으로 가까이 보내 접선의 기울기를 구하는 과정이다. 따라서 f′(1)=2이다.
부호로 방향 확인하기
f(x)=x²에서 x=1 주변의 점을 비교하면 다음과 같다.
- h=1일 때 평균변화율은 3
- h=0.1일 때 평균변화율은 2.1
- h=-0.1일 때 평균변화율은 1.9
양쪽에서 값이 2에 가까워지므로 순간기울기는 양수 2이다. 분자와 분모를 뒤집으면 양수라는 방향은 우연히 같아도 기울기의 실제 의미와 값이 달라진다.
새 문제에 적용한 검증
함수 g(x)=x²+1에서 x=2와 x=2+h 사이의 평균변화율을 구해 보자.
g(2+h)-g(2)=(2+h)²+1-(2²+1)=4h+h²
그러므로
{g(2+h)-g(2) \over h}=4+h
h→0일 때 값은 4에 가까워진다. 따라서 g′(2)=4이다. 상수항 1은 두 함수값의 차에서 소거되므로 기울기에 영향을 주지 않는다.
최종 확인 기준
- 가로 변화량을 Δx, 세로 변화량을 Δy로 따로 적는다.
- 평균변화율은 항상 Δy/Δx로 계산한다.
- 두 점 사이의 간격을 나타내는 h가 0으로 가까워지는 극한을 취한다.
- 구한 값이 해당 점에서의 접선 기울기인지 확인한다.
이처럼 대구과외에서 미분계수를 지도할 때도 계산 공식만 외우기보다 두 점 사이의 평균변화율이 간격을 줄이며 순간변화율로 전환되는 과정을 먼저 확인하면 같은 오류를 줄일 수 있다.