사복동 고1수학과외
사복동 고1수학과외, 행렬의 성분 위치를 놓치지 않는 식 변형
행렬식처럼 보이는 식을 정리하던 학생이 계산 자체는 빠르게 진행했지만, 두 행렬의 같은 위치 성분을 비교해야 하는 순간 행과 열을 바꾸어 읽었다. 식의 모양은 자연스러웠으나, 변형 전후의 행렬이 정말 같은지 설명하지 못한 것이 핵심 문제였다.
행과 열을 표시한 뒤 변형을 시작하다
대구신서혁신LH천년나무10단지 생활권에서 진행한 수업에서는 행렬을 곧바로 계산하지 않고, 각 성분의 위치를 먼저 확인했다. 예를 들어
A = [aij]
에서 i는 행, j는 열을 나타내므로 a12와 a21은 값이 같아 보이더라도 서로 다른 위치의 성분이다. 학생은 이전에 이 둘을 같은 성분처럼 취급해 식을 변형하고 있었다.
교정 과정에서는 행렬의 각 성분 옆에 행 번호와 열 번호를 직접 표시하게 했다. 이후 두 행렬의 대응 위치를 하나씩 비교하면서, 식을 바꾼 뒤에도 같은 행과 열의 성분이 유지되는지 확인했다. 숫자를 임의로 넣어 맞추는 방식이 아니라 위치 자체를 보존하는 데 초점을 맞췄다.
표현이 바뀐 행렬에서도 대응 위치를 찾다
다음에는 행렬을 괄호식이 아니라 표 형태로 제시하고, 특정 성분을 식으로 표현하게 했다. 행렬의 크기와 모양이 달라지자 학생은 잠시 멈췄지만, 행 번호를 가로축처럼, 열 번호를 세로축처럼 혼동하지 않고 지정된 위치를 찾아냈다.
- 두 번째 행 첫 번째 열의 성분과 첫 번째 행 두 번째 열의 성분을 구분했다.
- 행렬을 다른 식으로 옮길 때도 성분의 대응 위치를 유지했다.
- 단순히 같은 숫자가 나오는지가 아니라 같은 위치에 놓였는지를 판단했다.
새 식에서는 행렬의 크기로 결과를 검증하다
마지막에는 처음 보던 행렬 곱셈식에서 계산을 시작하기 전에 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수를 확인했다. 계산 결과가 나왔을 때도 각 성분을 다시 대조하는 대신, 결과 행렬의 행과 열 크기가 연산 조건에 맞는지 점검했다. 그 결과 성분 위치를 바꾸어 얻은 식은 행렬의 크기부터 맞지 않는다는 점을 스스로 찾아냈다.
사복동 고1수학과외 수업에서는 행렬식을 외우는 데 그치지 않고, 식을 변형할 때 성분의 위치와 연산 조건이 함께 보존되는지를 확인하는 연습으로 연결했다.