대림동 중등수학과외

대림동중등수학과외, 높이가 8일 때 겉넓이 114가 되는 이유 확인하기

직육면체에서 높이가 두 배가 되면 겉넓이도 반드시 두 배가 된다고 판단하면, 면의 넓이의 합과 공간을 채우는 양을 같은 방식으로 보게 되기 쉽습니다. 이번 문제는 가로 3, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하고, 높이만 8로 바꾸어 결과를 비교하는 내용입니다. 답을 결정하는 조건은 가로와 세로가 3으로 고정되어 있고 높이만 달라진다는 점입니다. 대림동중등수학과외에서는 이 고정 조건과 변하는 조건을 분리해 표시하면서, 왜 겉넓이와 부피의 변화가 서로 다른지 확인합니다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 따로 세기

높이 4인 기본 직육면체에서 밑면 한 개의 넓이는 3×3=9입니다. 위아래 밑면은 높이가 바뀌어도 가로와 세로가 그대로이므로 각각 9, 합하여 18제곱단위입니다. 옆면은 3×4인 직사각형이 네 개이므로 한 면의 넓이는 12, 네 면의 합은 48제곱단위입니다. 따라서 겉넓이는 18+48=66제곱단위입니다. 부피는 밑면의 넓이 9에 높이 4를 곱하므로 9×4=36세제곱단위입니다. 제곱단위는 면을 덮는 넓이, 세제곱단위는 입체 내부의 공간이라는 뜻도 함께 구분합니다.

높이가 바뀌어도 9인 면이 남는 이유

높이를 8로 바꾼 비교 과제에서는 위아래 밑면의 넓이가 여전히 3×3=9입니다. 높이가 들어가지 않는 식이므로 두 밑면의 합은 계속 18입니다. 반면 옆면 한 개는 3×8=24가 되고, 네 면의 합은 96이 됩니다. 그러므로 새 겉넓이는 18+96=114제곱단위입니다. 높이가 4에서 8로 두 배가 되었어도 66의 두 배인 132가 아닌 까닭은, 전체 겉넓이 안에 변하지 않는 밑면 18이 포함되어 있기 때문입니다. 처음 풀이에 ‘높이 두 배 → 겉넓이 두 배’라고 적혀 있다면, 이 화살표 옆에 밑면 두 개는 9+9로 고정이라고 남기고 식을 18+4×24로 고칩니다.

부피의 곱과 비교 결과를 스스로 확인하기

부피에서는 높이가 밑면의 넓이에 곱해집니다. 밑면 넓이 9는 그대로이고 높이만 8이므로 9×8=72세제곱단위입니다. 기본 과제의 36과 비교하면 부피는 정확히 두 배입니다. 여기서 “높이를 바꿔도 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?”라는 질문에는 위아래의 3×3 밑면이라고, “부피에서는 높이가 어떤 항에 곱해지나요?”에는 밑면 넓이 3×3에 곱해진다고 식으로 답할 수 있어야 합니다. 이후에는 도움 없이 높이 8의 겉넓이와 부피를 다시 구하게 하되, 18+96=114와 9×8=72를 직접 썼는지 확인합니다. 두 값을 말하는 것만으로 이해를 단정하지 않고, 고정된 면과 변한 면을 나누어 표시한 뒤 계산했는지까지 살펴보는 것이 다음 학습의 기준입니다.