대림동 중1수학과외
대림동 중1수학과외에서 다룬 수직선과 절댓값 판단
대림동과외 수업에서 학생은 강동중학교, 새론중학교, 율원중학교, 영신중학교, 청구중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 중1 문제를 풀었다. 문제는 다음과 같았다.
수직선에서 점 A의 좌표가 -3, 점 B의 좌표가 2일 때, 두 수의 대소를 비교하고 각 수의 절댓값을 구하여라. 또 온도가 -3℃와 2℃일 때 어느 쪽이 더 낮은지 설명하여라.
학생은 종이에 곧바로 3>2이므로 -3>2라고 적었다. 이어서 절댓값은 숫자만 보면 된다고 생각해 |-3|=3, |2|=2를 계산했다. 절댓값 계산 자체는 맞았지만, 양수와 음수의 위치를 비교하는 첫 판단에서 풀이가 어긋났다.
첫 줄에서 확인해야 할 것
교사는 계산을 지우게 하기보다 학생이 적은 두 수를 수직선에 표시하게 했다. 0을 가운데에 쓰고 왼쪽에 -3, 오른쪽에 2를 표시하자, 학생은 -3이 0의 왼쪽에 있고 2가 오른쪽에 있음을 확인했다. 수직선에서는 오른쪽에 있는 수가 더 크므로 -3<2가 된다.
그다음 절댓값을 수직선에서 0까지의 거리로 연결했다. -3은 0에서 왼쪽으로 세 칸, 2는 오른쪽으로 두 칸 떨어져 있으므로 |-3|=3, |2|=2이다. 여기서 절댓값의 크기와 원래 수의 대소는 같은 판단이 아니라는 점을 식 옆에 따로 적었다.
- 수의 대소: 수직선에서 더 오른쪽에 있는 수가 크다.
- 절댓값: 0에서 떨어진 거리를 나타내므로 음수의 부호를 없애고 거리만 본다.
- 따라서 절댓값은 3이 더 크지만, 원래 수는 -3이 2보다 작다.
온도 상황으로 바꾸자 학생은 -3℃가 2℃보다 낮다는 문장을 수직선의 위치와 연결했다. “절댓값이 큰 쪽이 더 낮다”라고 일반화하지 않고, 음수는 0의 왼쪽, 양수는 0의 오른쪽이라는 근거를 붙여 설명했다.
표현을 바꾼 독립 적용
다음에는 식을 보여 주지 않고 두 지역의 기온을 표로 제시했다.
| 지역 | 아침 기온 |
|---|---|
| 가 지역 | -1℃ |
| 나 지역 | -4℃ |
학생은 표의 숫자를 그대로 비교하지 않고 수직선을 그려 -4를 왼쪽, -1을 오른쪽에 놓았다. 그래서 나 지역의 기온이 더 낮고, 절댓값은 |-4|=4로 가 지역의 |-1|=1보다 크다고 답했다. 이어 “더 낮은 기온”을 묻는 질문과 “0에서 더 먼 기온”을 묻는 질문은 서로 다른 기준을 사용한다고 문장으로 정리했다.
표현을 다시 바꾸어, “어떤 수의 절댓값이 5이고 그 수가 음수라면 수직선에서 어느 쪽에 표시하는가?”라는 질문을 제시했다. 학생은 0에서 다섯 칸 떨어진 두 위치가 -5와 5임을 먼저 떠올린 뒤, 음수라는 조건 때문에 왼쪽 위치인 -5를 선택했다. 단순히 이전 문제의 모양을 따라 쓰지 않고, 절댓값과 부호 조건을 각각 확인한 결과였다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 후반에는 풀이 과정을 가린 채 새 문제를 풀었다.
수직선 위의 두 점 P와 Q의 좌표가 각각 -6과 -2이다. P와 Q 중 더 큰 수를 고르고, 두 좌표의 절댓값을 비교하여 이유를 쓰시오.
학생은 먼저 두 수가 모두 음수라는 조건에 표시한 다음, 수직선에서 -2가 -6보다 오른쪽에 있으므로 -6<-2라고 적었다. 이어 |-6|=6, |-2|=2이므로 절댓값은 6이 더 크다고 구분했다. 마지막으로 “원래 수의 대소는 위치로, 절댓값의 대소는 0에서의 거리로 판단했다”라고 풀이 근거를 썼다.
대림동중1수학과외 수업에서 확인한 핵심은 답만 맞히는 것이 아니었다. 학생은 첫 문제에서 숫자의 크기만 보고 부호와 위치를 놓쳤지만, 이후에는 조건을 먼저 표시하고 수직선에 위치를 정한 뒤 절댓값을 거리로 확인했다. 원래 문제의 수를 다시 대입해 보아도 -6<-2와 6>2가 모두 성립하므로, 같은 개념을 힌트 없이 재현한 것으로 검증했다.